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初中概率及其教学 肖果能 （中南大学铁道学院 湖南 410004） 肖果能，男，1941年生，湖南长沙人.中南大学教授，中国数学奥林匹克高级教练员，湖南省科普工作先进个人.《义务教育课程标准实验教科书·数学》（湖南教育出版社）编委.1963年毕业于湖南师范学院数学系，1981年于长沙铁道学院应用数学专业研究生毕业，并获理学硕士学位.1991～1992年由国家教委下派以高级访问学者身份赴前苏联乌克兰国立基辅大学访问，1995～1996年应美国格林威治大学邀请从事合作研究. 与传统教材相比较，《全日制义务教育数学课程标准》大大地加强了统计与概率的内容与教学要求.这是因为在当今时代和现代社会中，统计和概率起着越来越重要的作用，掌握统计与概率的思想方法和基本知识成为现代社会公民必需具备的素养.如何学好和教好统计与概率是广大教师所面临的一项新的挑战.在学习新课程的基础上，本文将对初中阶段概率部分的教学要求和教学方法作些探讨. 一、概率论——研究随机现象的数学 自然界和人类气象万千，异彩纷呈的自然现象和社会现象有两种基本的类型：确定性现象与随机现象.在一定条件下必然发生或必然不发生的现象称为确定性现象：太阳从东方升起，水从高处流往低处，物体热胀冷缩，在力的作用下运动的物体产生加速度，…，都是确定性现象.在一定的条件下可能发生，也可能不发生的现象称为随机现象：明天是否下雨，火车是否能正点到达，彩票能否中奖，股票是涨是跌，…，都是随机现象. 对于确定性现象，人们关心的是现象发生的条件；对于随机现象，人们关心的是现象发生的可能性. 研究随机现象的基本方法是随机试验.每个随机现象都联系着一个随机试验，随机试验的结果是不确定的，每种可能的结果称为随机事件. 随机试验满足下面的三个要求： 1.试验的基本结果是明确的.一次试验可能出现哪些基本结果是事先可以明确的，所谓基本结果是指这样的一些结果，在一次试验中，必定出现其中的一个，并且只出现一个，即在一次试验中两个不同的基本结果不能同时发生. 2.试验结果的不确定性.一次试验出现什么结果，在试验之前无法预言，即一次试验的结果是不确定的. 3.实验的可重复性.试验可以重复地进行，即试验的条件可以重复实现. 在一次试验中，一个随机事件要么发生，要么不发生，无规律可言.但在大量试验中，随机事件的性质就能呈现出来.例如，一个随机事件如果在大量试验中频繁地发生，则有理由认为它在一次试验中发生的可能性大，反之则可能性较小.这种在大量试验中表现出来的规律性，称为随机现象的统计规律.概率论就是研究随机现象统计规律的数学分支. 二、概率——随机事件发生的可能性大小的数量表征 在实践中人们发现，随机事件发生的可能性大小是可以比较的，这在人们的日常语言中已经有所反映，常说的“必定”“很可能”“有可能”“几乎不可能”，…，说的就是可能性的不同程度. 例1.在下面的随机试验中，比较事件、发生的可能性的大小. 1.将硬币的一面涂上红色，一面涂上蓝色，连投两次. A. 两次出现红色 B. 两次出现颜色相同 2.掷两枚骰子，考察朝上的两面的点数之和. A. 朝上两面点数之和为4 B. 朝上两面点数之和为7 既然随机事件发生的可能性有大有小，数学作为精确科学应该定量地刻划随机事件发生的可能性大小，这种数量刻划就是概率. 随机事件的概率是区间[0，1]中的一数，随机事件发生的可能性大时，其概率就大；反之，概率就小.我们称在一定条件下必然发生的事件为必然事件，必不发生的事件为不可能事件.必然事件和不可能事件都不是随机事件，但它们可视为随机事件的两个极端情形，所以规定不可能事件的概率为0，而必然事件的概率为1. 应该指出：概率作为随机事件发生的可能性大小的数量表征，是随机事件自身的固有的属性，它不依赖于人的主观认识，而是在大量试验中表现出来。 三、频率与概率的估计 如果我们重复地做同一随机试验次，则在这次试验中随机事件出现的次数称为在这次试验中事件A的频数，而称为在这次试验中事件的频率. 在某次试验中，事件频繁发生，则有理由认为发生的可能性大.这时发生的频数大，频率也大，故频率在一定程度上反映了随机事件发生的可能性的大小.这说明频率与概率有联系，这是一方面.另一方面，频率与概率又有着本质的区别，不能把两者混为一谈，更不能认为频率就是概率.因为频率依赖于试验：不但依赖于试验的次数，而且依赖于具体的次试验，在不同的次试验中，同一事件发生的频数和频率一般不会完全相同，而概率是客观的，它是随机事件自身的固有属性，不依赖于具体的试验而存在. 概率与频率的本质联系深刻地反映在所谓“频率稳定性”上，概率论中的“大数定律”已经严格地证明：在大量重复的试验中，随着试验次数的无限增加，在大多数情况下，随机事件的频率稳定