微分中值定理的应用函数的单调性、凸凹性、极值.docVIP

微分中值定理的应用：函数的单调性、凸凹性、极值 这一节之所以称为微分中值定理的应用的应用是因为这一节的定理（费马定理除外）都可以用微分中值定理来完成证明，请完成定理的证明。 一 函数的单调性 （一）定理 设在连续，在内可导则 （1）当时，严格单调增加 （2）当时，严格单调减少 注（1）定理区间可以其它形式的区间例： ，条件为在区间上连续，在除端点外导数符号不变。 （2）当时，单调增加 当时，单调减少 (二)应用举例 1确定单调区间：在定义域内找出驻点（导数为零的点）和不可导点来把定义域分割成小区间，在每个小区间讨论导数的符号来确定单调性。 例1 求函数的单调区间 （1） 提示：，则驻点为，不可导点为， （2）（若驻点两边符号相同则单调区间可以合并） （3）（注能否说函数在单调降） 练习 求函数的单调区间 （1） （2） 例2 求函数的单调区间 提示法一，令，则，故在是减的，又，故在函数 法二；讨论函数 例3 设在上，则，的大小顺序 2 证明不等式 （1） （若不等式两边能变得一样形式，根据这一形式构造函数，通常不等式含两个参数）例1 （1）证明时 （2）时 （2）（若不等式两边不能变得一样形式，通常不等式仅含一个参数而为，这时可构造函数， 证明且即可） 例1 时 练习（1）当时（2） （3）时 例2（求两次导） 练习（1）时 （2） 例3 提示： 令，得，又 （3）（若则是单减（增）的 例：设函数在时二阶可微，且，，证明对任意的正数 提示；由得在是单减的。 在用中值定理： 在用中值定理：，则 得 3 证明方程有唯一实根（先用连续函数零点存在定理证明根的存在性，证明函数单调性来证明根的唯一性） 例 1 证明在只有唯一实根。 练习 证明 方程有唯一实根 提示令， 练习 在上连续可导，，。证明在只有一个实根。 例2 证明只有一个正根 提示，，是驻点 练习 证明方程在有唯一实根 例3 方程仅有两个实根 提示则 例3讨论方程的实根的个数 提示令 二 函数的凸凹性 （一）理论 1：定义1：设在区间上连续，若对任上任意两点，恒有 那么称在区间的图形是凸的。 若对任上任意两点，恒有 那么称在区间的图形是凹的。 注（1）在区间的图形是凸的几何意义为：在这段弧任取两点，则连接这两点间的弦总位于这两点间的弧段的下方； 在区间的图形是凹的几何意义为：在这段弧任取两点，则连接这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方； （2）在区间的图形是凸的[]等价于 在区间的图形是凹的[]等价于（请证明） 定义2：若一点两边的凸凹性不一致，称该点为拐点。 2 凸凹性的判定定理 定理：设在区间可微的且在区间单减的（单增的），则在区间的图形是凸的（凹的） 推论：若在区间有在区间则在区间的图形是凸的 若在区间有在区间则在区间的图形是凹的（我们更多的应用该定理） 故若一点它两边的二阶导数的符号改变则它是拐点。 （二）举例 1找出凸凹区间及拐点 例1 判断下列曲线的凸凹性（找出定义域，求出二阶导数，找出二阶导数的符号区间） （1） （2） 提示（1）对定义域为， （2）对定义域为， 例2 求曲线的凹凸区间及拐点 例3 证明有三个拐点位于同一直线上。 例4求使为函数的驻点，且使曲线过，并有拐点 例5设有二阶连续导数，且，，则 （A）是的极大值，（B）是的极大值 （C）是的拐点 （D）不是的极值，也不是的拐点 2证明不等式 例（1） 证明 当，，有 （2）证明 当有 三 函数的极值与最值 （一）函数的极值与最值 定义1：设函数在的某个邻域满足对任意的有 （），则称为函数的极小值点（极大值点），统称极值点 是极小值（极大值），统称极值 注：极值是局部的最值但不一定是最值。 2函数的极值与最值判定方法 （1）函数的极值的判定 定理1：（必要条件）（费马定理）设函数在可微，且为极值点，则 注（1）不一定是极值点。例在处不是极值点但 （2）称导数为零的点为驻点，由定理可知极值点只会在驻点和不可导产生。 定理2：若函数满足 （1）时，时，则是极小值点 （2）时，时，则是极大值点 注：也适合不可导点 定理3：若函数，且。 （1）若，则是极小值点 （2）若，则是极大值点 推广若函数在有阶导，且，则 （1）为偶数时是极值点。 且时，则是极小值点； 且时，则是极大值点； （2）为奇数时不是极值点 （利用泰勒公式可证明） 当然极值点的定义也是一种方法 （2）函数的最值判定 （1）闭区间上的连续函数一定有最大最小值，最大最小值点在驻点不可导点和端点产生。故只需计算这些点的函数值，然后比较其大小可得最大最小值 （2）对函数在一般的区间连续，但不一定是闭区间，则函数不一定有最大最小值。但若函数有唯一的极大值（极小值），则函数有最大值（最大），唯一的极大值（极小值）就是最大值（最小值）