《以形助数以数解形——浅谈数形结合思想在初中数学中的应用.docVIP

论文编号： 以形助数，以数解形 ——浅谈数形结合思想在初中数学中的应用 摘要：在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度.笔者结合教学实际，对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中的应用. 关键词：数形结合 初中数学 数学应用 数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性.因此，笔者结合数学教学实际, 探讨数形结合思想在初中数学中的应用. 在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等.” [1]所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法.利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂. 数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应关系, 应用代数、三角函数等知识进行讨论, 或者把数量关系问题转化为图形问题, 借助几何知识加以解决, 使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”，最终达到优化解题途径的目的.著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离” [2]. 初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系.正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的. 那么作为最基本的数学思想之一的数形结合思想，又是怎样体现在数学的具体应用中呢？下面我结合以下几个方面浅谈一下. 一.以形助数，化难为易 一些问题中的代数式, 比如方程或不等式，若以图形的形式直观地表示出来, 问题的结果便可一目了然. 在不等式中的应用 例1. 如图1，直线y1=kx+b过点A（0，2）y2=mx交于点P（1，m）mx＞kx+b_________ 分析：这是一个解不等式的问题，如果直接去解不等式，是做不出的，因为将现有的已知点都代入解析式中，无法求出参数k、bm的.所以，这个题必须借助图像，利用图像观察交点以及交点两侧的图像，来判断当x在什么范围时，y1＞y2 y2＞y1mx＞kx+by2＞y1p的右侧，即当x＞1y2＞y1∴mx＞kx+bx＞1的实数根的个数. (2)求方程的实数根的个数. 分析与解答：我们学习了“用函数的观点看方程”，知道一元二次方程的根的情况，可以看成是 (抛物线)与y=0 (x轴)的交点的情况，我们既可以通过计算方程的判别式来判断，又可以通过函数图像的交点很形象、直观的判断.所以，（1）,右边看成直线y= -1，然后通过图2观察，会很快的发现，抛物线与直线没有交点，故原方程就没有实数根.(2)问中，如果直接去解方程，势必会得到一个三次方程，解起来很困难.若利用数形结合的方法，就简单直观了.求方程根的问题，转化成求函数与y=的图像的交点问题，通过观察图3，知道两图像只有一个公共点，所以原方程只有一个根. （三）（a＞0）时a-b+c是大于0的. 应用题中的应用 例4.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，当行驶1.5小时时，两车相距70千米，再过半个小时，两车相遇，求甲乙两地的距离. 分析：此题如果用代数的解法，需要设三个未知数列方程组求解，可能还得用上整体代入的思想.但是如果能将两车的距离(y)与时间(t)的图像画出,如图5，再借助解析几何或平面几何的知识，会变得简单. 解：法1：利用待定系数法将直线AB的解析式求出， y=-140x+280,甲乙两地的距离实际就是A点的纵坐标，故令x=0求出y=280. 法2：设点（1.5,70）C点，过C作CD⊥x轴于D，因为△AOB∽△CDB , 所以 OA=280. 二.以数解形，化繁为简 几何图形中的问题转化为代数的知识来解, 这种数形结合的解题方法贯穿在教材中, 也是几何计算与证明中常常采用的方法. (一) 解几何计算题 例5.如图6，直线与y轴交于点A，与双曲线在第一象限交于B、CAB·AC=4，则k=_________． 解：设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1、x2的两根，∴x1x2=. 又AB·AC= ∴= 此题将反比例函数图像与代数相结合，利用直线解析式，先算出AB=，AC=∠BAC=60