《圆的基本概念.docVIP

初初四《圆》的有关概念、性质定理 一、圆 .平面内点和圆的位置关系：（用d表示这点到圆心的距离，r表示圆的半径） 1.点在圆内?dr；2.点在圆上?d=r；3.点在圆外?dr； 二、圆的对称性 （一）圆中有关概念： 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A、B为端点的弧，记作. 弦：连接圆上任意两点间的线段，叫做弦，如图中的线段AB. 直径：经过圆心的弦，叫做直径.（如图中的AC） （注意：直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。（注意：等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。等弧的长度必定相等，。半圆是弧，但弧不一定是半圆。优弧：大于半圆的弧称为优弧，记作（用三个字母表示） 劣弧：小于半圆的弧称为劣弧，记作（用两个字母表示） 圆心角：顶点在圆心，角的两边在圆内的部分是半径，这样 的角叫做圆心角. 9.弦心距：圆心到弦的距离. (如图（1）中OC的长度) 10.弓形：由弧及其所对的弦所组成的图形叫做弓形.（如图（1）中的阴影部分） 11.弓形的高：弓形中弧的中点到弦的距离叫做弓形的高. （如图（1）中的CD） 12.同心圆：圆心相同，半径不等的圆，叫做同心圆. (如图（2）) （二）有关定理 1.圆的对称性定理：①圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线. ②圆具有旋转对称性.特别地，圆是中心对称图形，对称中心圆心。 ：一个圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个，一个圆绕圆心旋转任意角度，都能够和原图形重合，即圆还具有旋转性（注意：如果一条直线具有(1)经过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的劣弧(5)平分弦所对的优弧，这五个性质的任何两个性质，那么这条直线就具有其余三个性质，即：=,AB=CD,OE=OF. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. 推论1：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.. 推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论3：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 推论4（补充）：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 几何语言：∵AB是直径，∴∠C=90°/∵∠C=90°, ∴AB是直径. 重要公式：三角形两边的乘积等于第三边上的高与其外接圆直径的乘积。 即AB·AC=AD·AE 四、确定圆的条件 确定圆的条件定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆. 三角形的外接圆、圆内接三角形：经过三角形各顶点的圆， 叫做三角形的外接圆. 这个三角形叫做这个圆的内接三角形. （如图中的△ABC叫做⊙O的内接三角形，⊙O叫做△ABC的外接圆） 三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. （外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等）.(如图中的圆心O就是△ABC的外心) （注意：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部.） 圆的内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一 个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆 叫做多边形的外接圆. 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补. 推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 几何语言：∵A、B、C、D四点共圆，∴∠A+∠ACD=∠B+∠D=180°，∠1=∠A. 五、直线和圆的位置关系 1.直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.（表中：d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径） 位 置 关 系 相 离 相 切 相 交 图 形 公共点的个数 0 1 2 d与r关系 dr d=r dr 2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 几何语言：∵l切⊙O于点P，AB是直径∴l⊥AB. 推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点 推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心内心到三角形三边的距离相等）；这个三角形叫做圆的外切三角形. (如图中的⊙O 叫做 △ABC的内切圆，圆心O是△ABC的内心，△ABC叫做⊙O外切三角形). 公式：若O为△ABC的内心 ，则∠BOC=90°+∠A. 5.切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.(如PA长) 6.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．几何语言：如图7-①∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AB+CD=AD+BC. ?如图7-②，设△ABC的面积为S，内切圆半径为r，周长为p，则S=pr. 推导：S△ABC= S△AOB+ S△BOC+ S△AO