《多杆复合摆的运动研究.docVIP

具有质量的多杆复合摆运动研究 宫华胜 机械茅以升班 摘要：本文首先建立了双杆复合摆的拉格朗日运动方程，通过拉普拉斯变换方程求解出其运动的解析方程，运用“科学计算与模拟平台”模拟出了在摆副比较小的条件下的运动，并在此基础上推广出了更多杆的复合摆的微幅运动方程，并对三杆复合摆进行了求解模拟。 关键词：多杆复合摆 欧拉-拉格朗日方程 拉普拉斯变换方程 前言： 在很多多杆复合摆的研究中，大多是求解到摆角的微分方程便截止，用其它软件直接模拟，虽同样可看到良好的模拟效果，但并不能让人了解到其本质，即方程本身的变化规律。本文在前人研究的基础上，对多杆复合摆进行了更深一层的研究，求解出了每个摆随时间变化的解析解，还推广到了两个以上的复合摆的运动，并给出了运动方程及求解过程，最终得到多摆运动的解析方程，以便更好地用“科学计算与模拟平台”进行模拟。 一、双杆复合摆 1、 双杆复合摆运动方程的建立 双杆摆运动示意图如图一，其中每根杆的长度、质量都相等，分别为都为、，第一与第二根杆与竖直方向的夹角分别为记为和，重力加速度。 杆绕O轴的转动惯量 杆动能 杆在面做平面运动，其绕质心的转动惯量 图一 双复合摆 在任意位置， 杆质心坐标 ， 动能为 重力势能为 则系统的总动能为 由于双摆为在平衡位置的微幅振动，故可以考虑。 杆的质心坐标为 ， 重力势能为 则系统的重力势能为 综上可得双摆系统的拉格朗日函数为 则可求得 , , 由拉格朗日方程 得 ----------------（1） 同理，对于可求得 ----------------（2） 2、 双杆复合摆运动方程的求解 本文采用拉普拉斯积分变换来求解和的具体解析式，可设和拉氏变换为和，并且 由于本文研究的是多杆复合摆的微振动下的运动，但是为了更好的模拟及展示其运动过程，在此将其运动摆角放大，虽然摆角放大，但是在模拟环境下摆仍然会按照微幅摆动的运动规律运动。所以，规定初始值为 ， ； ， 令，则将初始值和变换公式带入（1）、（2）式中得， 求解可得： 和分别有四个一级极点且分别相等，为 ， ， ， 则再由拉普拉斯逆变换 其中，是的留数 ，为其一级级数， 为一级级数，为第个级数。 从而可以得到 ， 即++ + + ++ + + 综上可得初始值为 ， ； ， 时的和关于时间的解析式： 同样，若规定不同的初始值，会得到不同的和。 模拟效果如图： ， ； ， 图二 双复合摆DTP模拟 二、多杆复合摆运动 1、多杆复合摆方程的建立 多杆系统的总动能： 总势能： 同样，可得拉格朗日函数： 且由带入拉格朗日方程中，可得个摆关于与竖直方向的夹角的微分方程组： 其中，,为常矩阵，， 2、多杆复合摆运动方程的求解 首先规定初始值，的初始值为，的初始值为，其中，，， 则可以得到拉普拉斯变换 其中， 将拉普拉斯变换式带入微分方程中可得普拉斯变换方程组： 由此可求得在相应的初值下的普拉斯变换方程组的一个特解： 我们可以经过处理使每个特解的分母相同，故他们具有相同的一级极点，设为并且按顺序，相邻的奇偶数极点的模相等。 再将所得到的特解经过拉普拉斯逆变换 ： 于是，最终可求得每个摆角关于时间的具体解析方程，便可以直接用“科学计算与模拟平台”进行模拟。 在此，当，初始值为 ， ； ， ； ， 时，对三杆复合摆的微幅运动进行了求解模拟，求得的各