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《初中阶段数学思想方法汇编

初中阶段数学思想方法汇编 一、数形结合思想 “数”和“形”是数学教学中既有区别又有联系的两个对象。数形结合思想是将抽象的数量关系与直观的图形结合起来,通过“形”来直观地表达“数”,或是通过“数”来精确地确定“形”。在数学教学中,最突出的为数形结合思想,将抽象的数量关系形象化,具有直观性强、易理解、易接受;将直观图形数量化,转化成数学运算,常会降低难度,并对知识的理解更加深刻明了,有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解,提供解决问题的方法,也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。 能运用代数、三角比知识通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题;能运用几何、三角比知识通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题。能将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来,把抽象思维与形象思维结合起来;会用代数的方法去研究几何问题,会根据图形的性质及几何知识去处理代数问题。 ①已知二次函数的图象如图所示,则 ②如果关于x的方程有且只有一个大于1的实数根,求m的取值范围。 ③二次函数如图 (1)试确定c的符号及a、b、的符号 (2)试确定a+b+c、a-b+c的符号 二、转化(化归)思想 “转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程,具体的说,就是把“新知识”转化为“旧知识”,把“未知”转化为“已知”,把“抽象”转化为“具体”,把“复杂问题”转化为“简单问题”,把“高次”转化为“低次”,在不断的相互转化中使问题得到解决。 可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法,配方法,进行构造变形实现转化、数形结合,实现转化。一般转化为特殊,有些代数问题,通过构造图形,化抽象为具体,借助直观启发思维,转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明,有些结构比较复杂的问题,可以简化题中某一条件,甚至暂时撇开不顾,先考虑一个简化的问题,这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法:a、化繁为简;b、化高维为低维;c、化抽象为具体;d、化非规范性问题为规范性问题;e、化数为形;f、化实际问题为数学问题;g、化综合为单一;h、化一般为特殊,有加减法的转化,乘除法的转化,乘方与开方的转化,添辅助线,设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此,首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法 ①数轴上的点与实数的一一对应的关系。②平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。③函数式与图像之间的关系。④线段(角)的和、差、倍、分等问题,充分利用数来反映形。 ⑤解三角形,求角度和边长,引入了三角函数,这是用代数方法解决何问题。⑥“圆”这一章中,贺的定义,点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。⑦统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表,用这些图表的反映数据的分情况,发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况,发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征,这是数形结合思想在实际中的直接应用。 ①若a<b<0,则下列结论中正确的是(  ) (A)a+b<-a+b<a-b<-a-b (B)a+b<a-b<-a+b<-a-b (C)-a-b<a-b<-a+b<a+b (D)-a-b<a+b<-a+b<a-b ②已知O是△ABC的内心,OD⊥BC于D,且AB·AC=2BD·DC。求证:∠A=90°。 ③解方程: ④已知在平面直角坐标系内,O为坐标原点,A、B是x轴正半袖上的两点,点A在点B的左侧,如图。二次函数的图象经过点A、B,与y轴相交于点C。 (1)a、c的符号之间有何关系? (2)如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项,试证a、c互为倒数; (3)在(2)的条件下,如果b=-4,AB=求a、c的值。 三、分类讨论思想 分类讨论思想是指对一个问题出现的情况进行全面分析思考,将其区分为不同种类,克服思维的片面性,防止漏解。即根据题目的要求,将条件分为不重复、不遗漏的几种情况,并逐一列出它们的解答。从整体上看,中学数学分代数、几何两大类,然后采用不同方法进行研究,就是分类思想的体现,从具体内容上看,初中数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等,学生要按不同的情况去对同一对象进行分类,掌握好分类的方法原则,形成分类的思想。 当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时,就把问题按照一定的原则或标准分为若干类,然后逐类进行讨论,再把这几类的结论汇总,得出问题的答案,这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。 分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之,各个击破”。其一般规则及步骤是:(1)确定同一分类标准;(2)恰当地对全体对象进行分类,按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”;(3)逐类讨论,按一定的层次

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