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《八年级数学培优
目 录
一、 二次根式的运算 二、 二次根式的化简求值
三、 一元二次方程的解法 四、 一元二次方程的判别式
五、 一元二次方程的根与系数的关系 六、 一元二次方程的应用
七、 平行四边形(基础篇) 八、 平行四边形(提高篇)
九、 梯形、中位线及其应用
一:二次根式的运算
【知识梳理】
当时,称为二次根式,显然。
二次根式具有如下性质:
(1); (2)
(3); (4)。
3、二次根式的运算法则如下:
(1); (2)。
4、设,且不是完全平方数,则当且仅当时,
。
5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容,其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法,还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧,最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。
6、最简二次根式与同类二次根式
(1)一个根式经过化简后满足:被开方数的指数与根指数互质;被开方数的每一个因式的指数都小于根指数;被开方数不含分母。适合上述这些条件的根式叫做最简根式。
(2)几个根式化成最简根式后,如果被开方数都相同,根指数也都相同,那么这几个根式叫做同类根式。
1. 已知,则___________________。
2. 已知,则 _______________________。
3. 若适合关系式,求的值。
4. 当时,化简二次根式。
5、已知,化简。
6. 多重二次根式的化简:
(1); (2)。
【拓展】化简。
7..计算:
(1); (2)。
8. 设,
,则的值是__________________________。
二:二次根式的化简求值
【知识梳理】
有条件的二次根式化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点,这类问题包容了有理式的众多知识,又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念,同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式或图形等重要的技巧与方法,解题的关键是,有时需把已知条件化简,或把已知条件变形;有时需把待求式化简或变形;有时需把已知条件和待求式同时变形。
1. 设,,求的值。
2、设,求的值。
3、已知,求的值。
4. 已知,求的值。
5. 已知,那么的值等于______________。
6. 已知,求的值。
7. 已知均为正数,且,求的最小值。
8. 求代数式的最小值。
三:一元二次方程的解法
【知识梳理】
形如的方程叫一元二次方程,配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法,而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式内涵丰富:它包含了初中阶段已学过的全部代数运算;它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题;它展示了数学的简洁美。
1. 选用恰当的方法解方程(基础题):
(1)x2 –2x=0 (2) x2 –9=0 (3)(1-3x)2=1;
(4)(t-2)(t+1=0x2+8x=2 (6)
(7) (8) (9)
(10) (11) (12)
(13)x(x-6)=2 (14)(2x+1)2=3(2x+1) (15)
(16) (17) (18)
(19) (20);
2. 用适当的方法解下列关于的方程:
(1); (2);
(3)。 (4)。
3. 解方程:。 4. 解关于的方程:。
5. 已知方程与有公共根。
(1)求的值;
(2)求二方程的所有公共根和所有相异根。
6. 是否存在某个实数,使得方程和有且只有一个公共的实根?如果存在,求出这个实数及两方程的公共实根;如果不存在,请说明理由。
四:一元二次方程的判别式
【知识梳理】
一、一元二次方程根的情况:令。
1、若,则方程有两个不相等的实数根:;
2、若,则方程有两个相等的实数根:;
3、若,则方程无实根(不代表没有解)。
二、1、利用判别式,判定方程实根的个数、根的特性;
2、运用判别式,建立等式、不等式,求方程中参数或参数的取值范围;
3、通过判别式,证明与方程有关的代数问题;
4、借助判别式,运用一元二次方程必
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