《微分中值定理与导数的应用.docVIP

微分值定理与导数(偏导数)的应用 导数的几何应用:切线斜率 偏导数的几何应用 i. 若空间曲线Г的参数方程为 且不能都为零.则切向量（切线的方向向量） 曲线在点处的切线方程为 = 法平面（过切点与切线垂直的平面）的方程为： ii. 若空间曲线Г的方程为，Г的参数方程可看成， 所以 曲线在点处的切线方程为 法平面方程为 iii. 若空间曲线Г的方程为 ，利用隐函数求导法则， 切向量可取为 曲线在点处的切线方程为 法平面方程为 曲面的切平面与法线：设是曲面上的一点，则∑在点的切平面的法向量为，切平面方程为： 法线方程 特别地，曲面在点处的法向量为： （向下的法线方向） 或 （向上的法线方向） 注意: 求曲线切线的关键在于找到切向量；求曲面切平面的关键在于找到法向量. 方向导数与梯度： （1）如果函数(或)在所考虑的点处可微分，那末函数在该点沿着方向的方向导数为 （或）. 注意: 可微是方向导数存在的充分条件，（或）为给定向量的单位向量. (2)函数(或)的梯度为 （或）. 若(或)为可微函数，则方向导数与梯度关系为 当方向与梯度的方向一致时，取最大值.即梯度的方向是函数在该点增长最快的方向;方向与梯度的方向相反时，取最小值，故梯度反方向是函数在该点减少长最快的方向. 注意: （1）梯度是一个向量，方向导数是数. （2）在任意给定方向上的投影就是该方向的方向导数，因此，当 时，. 例题 例1求在处的切线与法平面方程. 解：方程组两边对求导，得: 将代入上式,得:，解之得：. 故切向量为，切线方程为 法平面方程为即. 例2 求曲面与平面平行的切平面方程. 分析：先求曲面切平面的法向量. 由于已知曲面的切平面与所给平面平行，因此切平面的法向量与所给平面的法向量对应成比例. 解：的切平面的法向量为，的法向量为，故只需 即 此时. 所以，所求切平面方程为，即. 例3求曲线在点处的切线及法平面方程，其中例例4. 求二元函数在点沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？ 解： 因此，方向导数取最大值方向即为梯度方向：，方向导数最大值为，而沿梯度的负方向，即的方向减小得最快. 例5 .设函数在点附近有定义，且，则 A．； B．曲面在的法向量为 C．曲线在的切向量为 D．曲线在的切向量为 例6 .设是曲面在点处指向外侧的法向量，求在点处沿方向的方向导数. 微分中值定理 1.费马引理 设函数在点的某领域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有 （或），那么． 注 通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）． 2.罗尔定理　如果函数满足（１）在闭区间上连续；（２）在开区间内可导；（３），那么在内至少有一点，使得． 3.拉格朗日中值定理　如果函数满足（１）在闭区间上连续；（２）在开区间内可导，那么在内至少有一点，使等式 （或写成）成立． 推论　如果函数在区间上的导数恒为零，那么在区间上恒为常数． 4．柯西中值定理　如果函数及满足（１）在闭区间上连续；（２）在开区间内可导，那么在内至少有一点，使等式 成立． 罗尔定理的应用 （1）证明方程最多只有个根。 特别地证明方程在区间上有且仅有唯一实根时，常利用零点原理来证明方程存在根，再利用罗尔定理证明根唯一. 例 证明方程有且仅有一实根. （2）证明方程存在根：设在上连续；在内可导，且满足一些给定条件，证明：方程存在实根.（或存在使得.（其中）） 方法 构造上连续；在内可导函数，使得，或，且任意都有，再由罗尔定理可证内至少有一点，使得（或，而，所以）． 一些常见的辅助函数选取： ①证明存在使得. 通常设，此时 例 设在上连续，在内可导，且，证明：存在一点，使得.（令即可） ②证明存在使得，其中时，通常设，此时. 例 设，在上连续，在内可导，且，证明：存在一点，使得.（令） ③证明存在使得时，通常设， 此时，，而且处处大于零. ④ 证明存在（其中）使得，常设，此时. 例题 例 .设在上连续，在内可导，且，， 证明：1）存在，； 2）对任意的，存在，使得 分析：1)令，利用介值定理（零点原理）即可 2）要构造一个函数，使其导数中含有因子， 且，由于，是的导数，所以可设 . 例. 设函数在上连续且可导，又则对任意，存在，使 分析：所证为，所以，令 ，如果，在上用罗尔定理，如果，则异号，所以存在，使，在上用罗尔定理 例：.设函数在上连续且可导，又则对任意，存在，使 分析：所证为，所以，令 ，如果，在上用罗尔定理，如果，则异号，所以存在，使，在上用罗尔定理 拉格朗日中值定理和柯西中值定理的应用 例 设在上连续,在内可导, 且,证明:存在， 使 分析：