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《圆复习教案教师版
第三章 圆
知识点汇总
一. 车轮为什么做成圆形
1. 圆的定义:
描述性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆;固定的端点O叫做圆心;线段OA叫做半径;以点O为圆心的圆,记作⊙O,读作“圆O”
集合性定义:圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心,定长叫做圆的半径,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆。
对圆的定义的理解:①圆是一条封闭曲线,不是圆面;
②圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长)。
2. 点与圆的位置关系及其数量特征:
如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则
①点在圆上 === d=r;
②点在圆内 === dr;
③点在圆外 === dr.
其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点的距离相等。
二. 圆的对称性:
1. 与圆相关的概念:
①弦和直径:
弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径:经过圆心的弦叫做直径。
②弧、半圆、优弧、劣弧:
弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“⌒”表示,以CD为端点的弧记为“”, 读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆。
优弧:大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。)
③弓形:弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
④同心圆:圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆。
⑤等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
⑦圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.
⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.
2. 圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。
3. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
说明:根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备:
①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
4. 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
三. 圆周角和圆心角的关系:
1. 1°的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被等分成 360份,每一份同样的弧叫1°弧.
2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB= ,这是错误的.
3. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.
4. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等;反之,在同圆或等圆中,相等圆周角所对的弧也相等;
推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;
四. 确定圆的条件:
1. 理解确定一个圆必须具备的两个条件:
圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.
2. 经过三点作圆要分两种情况:
(1) 经过同一直线上的三点不能作圆.
(2) 经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.
定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.
(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.
五. 直线与圆的位置关系
1. 直线和圆相交、相切、相离的定义:
(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.
(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.
(3)相离: 直线
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