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晨光高中数学一对一讲义——《集合》 熊老师 一、本章复习建议： 解不等式是高中数学的主要工具之一，建议将 “不等式”拆开，把不等式的解法安排集合里. 二、知识回顾： 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合间的交、并、补运算. 元素与集合、集合与集合的关系； 集合的文氏图、数轴法表示的应用. 主要性质和运算律 包含关系： 等价关系： 集合的运算律：(注意结合“文氏图”) 交换律： 结合律: 分配律:. 0-1律： 等幂律： 求补律：A∩?UA=φ A∪?UA=U ?UU=φ ?Uφ=U ?U(?UA)=A 反演律：?U(A∩B)= (?UA)∪(?UB) ?U(A∪B)= (?UA)∩(?UB) 有限集的元素个数 定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0. 基本公式：（1、2、3、5了解；4要记住） (3) card(?UA)= card(U)- card(A) （4）设有限集合A, card(A)=n,则 (ⅰ)A的子集个数为； (ⅱ)A的真子集个数为； (ⅲ)A的非空子集个数为；(ⅳ)A的非空真子集个数为. （5）设有限集合A、B、C， card(A)=n，card(B)=m,mn,则 (ⅰ) 若,则C的个数为； (ⅱ) 若,则C的个数为； (ⅲ) 若,则C的个数为； (ⅳ) 若,则C的个数为. 不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或； 4．若，，则；若，，则。如 对于实数中，给出下列命题： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧，则。 其中正确的命题是______ 不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设，比较的大小 （2）设，，，试比较的大小 （3）比较1+与的大小 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如 （1）若，则的最小值是______ （2）正数满足，则的最小值为______ (3)常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。如 如果正数、满足，则的取值范围是_________ 证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。). 常用的放缩技巧有： 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。如 解不等式。 （2）不等式的解集是____ （3）设函数、的定义域都是R，且的解集为，的解集为，则不等式的解集为______ （4）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式中的一个，则实数的取值范围是______. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如 解不等式 （2）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 绝对值不等式的解法： 1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式 （2）利用绝对值的定义； （3）数形结合；如解不等式 （4）两边平方：如 若不等式对恒成立，则实数的取值范围为______。 含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论