《高中数学竞赛讲义---代数式的恒等变换方法与技巧.docVIP

1—1 代数式的恒等变换方法与技巧 一、代数式恒等的一般概念 定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。 定义2 如果两个代数式A、B，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B。 两个代数式恒等的概念是相对的。同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但在另一个子集内可能不恒等。例如，，在x≥0时成立，但在x0时不成立。因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。 定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。 代数式的变形，可能引起定义域的变化。如lgx2的定义域是，2lgx的定义域是，因此，只有在两个定义域的公共部分内，才有恒等式lgx2=2lgx。由lgx2变形为2lgx时，定义域缩小了；反之，由2lgx变形为lgx2时，定义域扩大了。这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。 例1：设p为实常数，试求方程有实根的充要条件，并求出所有实根。 由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。 解：原方程等价于 由上式知，原方程有实根，当且仅当p满足条件 这说明原方程有实根的充要条件是。这时，原方程有惟一实根。 二、恒等变换的方法与技巧 恒等变换的目的是使问题变得简单，便于求解。因此，式的恒等变换是根据需要进行的，根据不同问题的特点，有其不同的规律性。 1．分类变换 当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。 例1：当x取什么样的实数值时，下列等式成立： （a）；（b）； （c）。 解：我们来求解更一般的方程： 记方程左边为f(x)，则 由此可知，当时，原方程的解集为；当时，解集为；当时，原方程变形为，解得。即当时，原方程的解集为。 例2：在复数范围内解方程组 解：考虑数列。不难证明此数列满足递推式 ，其中。 利用基本恒等式，得，，∴的递推式化为 由此得 由，得，∴。∴。 综上所述知，原方程组等价于 由韦达定理知，x，y，z是关于t的三次方程的三根，此三次方程即，这说明原方程组在复数范围内的解集为{（1，1，1）}。 注：此题还可以利用三次单位根的性质来解。 2．利用对称性 定义4 一个n元解析式称为对称式，当且仅当对于任意的，都有。 由定义可知，对称式的各变元所处的地位相同，因此，一个对称式具有下列性质： （1）若对于变元x1，x2，f具有性质p，则对于任意的变元也具有性质p。 （2）对于x1，x2，…，xn的任意排，有，因此，对于讨论f具有某一性质时，可不妨设。 定义5 一个n元解析式称为轮换对称式，当且仅当x2代x1，x3代x2，…，xn代xn-1，x1代xn时有。 显角，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，x2y+y2z+z2x是轮换式，但不是对称式。因此，对称式所具有的性质（1）、（2）对轮换式一般不成立。由轮换的特点，在解题中，为了方便起见，我们可指定变元中x1最大（或最小）。 例3：设x，y，z0，求证(x+y+z)5-(x5+y5+z5)≥10(x+y)(y+z)(z+x)(xy+yz+zx)等号成立当且仅当x=y=z。 证：令。易知是对称式。∵当x+y=0时，f(x，y，z)=0，∴。从而， ∴。注意到f是关于x，y，z的五次齐次式，故可设 令，得2A+B=15。令，得A+B=10。因此，A=B=5。 ∴注意到，且，得等号成立的条件为。 例4：设a，b，c是三角形的边长，证明并说明等号何时成立。 证：令欲证不等左边为，则易证为轮换式（非对称）。故可设。注意到，则可先考虑将f中分离出一个含b+c-a的非负式子。事实上 再令 令，有 令，有 ∴。又，∴。注意到关于c是二次式，a，b是三次式，故可设令b=c，得， ∴，∴令a=0，得，∴，∴。于是。从而 显然，当且仅当a=b=c时f=0。 注：对于，也可直接通过提取公因式法来分解因式。事实上 3．逆推分析 从一个数学过程的结果出发，按与原来相反的程序去推求初始条件的方法叫做逆推分析法，它的特点是每一步逆推均可逆。由此可见，逆推分析法是证明恒等式的重要方法。 例5：设