《高二数学球教案.docVIP

人教版高中数学必修：球(备课资料) ●备课资料 一、进一步理解并应用球的性质 球的性质是圆的性质在空间中的延伸，教学中，应要求学生在熟练掌握圆的性质的基础上推导出球的性质，进而使学生在解决与球有关的问题中学会用“变未知为已知”的转化的数学思想，将空间的球变为平面的圆去解决.下面，试举两例，供读者体会. ［例1］已知球的两个平行截面分别为5π和8π,它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径. 分析：作出球的轴截面，实现空间图形平面化，进而利用圆的性质去解决问题. 解：如图所示，设这两个截面的半径分别为r1、r2,球心到截面距离分别为d1、d2,球半径为R，则πr12=5π,πr22=8π,∴r12=5,r22=8. 又∵R2=r12+d12=r22+d22, ∴d12-d22=8-5=3, 即（d1-d2)(d1+d2)=3. 又d1-d2=1, ∴解得 ∴R===3. 评述：以上例题中体现了空间球的“与截面垂直的直径过截面圆的圆心”到平面圆的“与弦垂直的直径过弦的中点”及“球半径2=球心到截面圆的距离2+截面圆的半径2”到“圆半径2=圆心到弦的距离2+弦长的一半2”的等价转化思想. ［例2］球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆的周长为4π,求这个球的半径. 分析：解决这个问题的关键是将已知条件中的“任意两点的球面距离等于大圆周长的”与“经过这三个点的小圆周长为4π”，转化成平面图形图中的问题去解决. 解：如图所示，设这三个点是A、B、C，球半径为R，A、B、C所在的小圆半径为r,则2πr=4π,∴r=2. 又∵A、B、C三点中任意两点的球面距离是大圆周长的， ∴球心角∠AOB=∠AOC=∠COA=. 又OA=OB=OC=R，∴AB=BC=CA=R. ∴△ABC是半径为2的圆O′的内接三角形. ∴△ABC的高为3. ∴AB=R=2. 评述：(1)本题通过将“两点的球面距离等于大圆周长的”转化成“两点间的线段长等于球的半径”，将“经过三个点的小圆周长为4π,求球的半径”转化成“求周长为4π的圆的内接正三角形的边长”，从而将球面上两点间的距离、弧长公式及圆内接正三角形三者作为整体，体现了等价化归的数学思想，实现了问题的解决. (2)将旧知识灵活巧妙地应用到新问题中，需有牢固的基础和一定的变通能力，这是我们在教学中应引起重视的一个重要方面. 二、“两点间的球面距离”的学习 1.在“两点间的球面距离”的教学中，应注意些什么？ 答：(1)球面上两点间的距离，必须是在球的过此两点的大圆中求此两点所对应的劣弧的长度，而不能在过此两点的球的小圆中求. (2)球面上两点间的距离指的是球面上两点之间的最短距离. 2.球面上两点间的距离的求法. 设球面上两点间的球心角为α弧度，球半径为R，则球面上两点间距离为|α|·R,所以求球面上两点间距离的关键是确定球心角. (1)两点在同一经线圆上，可直接计算两点间的劣弧长度. (2)两点在同一纬线圆上，先求弦长，由余弦定理求球心角，化为弧度，再用l=|α|·r可求得. (3)两点经纬度都不同时，用异面直线上两点间距离公式求弦长，再由余弦定理求球心角.对于这一种情况，高考不作要求. ［例3］设地球半径为R，城市A位于东经90°，北纬60°，城市B位于东经150°，北纬60°，求城市A与城市B之间的距离. 分析：因所求A、B两点在同一纬线圆上，故需先求出弦长，由余弦定理求球心角，再用l=|α|·r求得A、B两点间的球面距离. 解：如图，设北纬60°纬度圆圆心为O′，则∠AO1B=60°, ∵r=R·cos60°=R, ∴AB=R. 在△AOB中， cosAOB===, ∴∠AOB=arccos. ∴过A、B的大圆的劣弧长为R·arccos. ∴A、B的球面距离为R·arccos. ●备课资料 一、球体积公式的学习 球体积公式叙述了球的体积与球半径之间的函数关系，即V（R）=πR3,教学中应要求学生熟练掌握在各种不同条件下求出球的半径，进而求出球的体积方法.下面，我们通过例题的分析,体会不同条件下对球半径R不同的求法. ［例1］一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，则此球的体积是 A.π B.4π C.π D.4(+1)π 分析：正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合，这样就找到了正方体的对角线与球直径相等这一重要关系. 解：∵正方体的体积是8, ∴正方体的棱长为2. 又∵球的半径与内接正方体棱长的关系为2r=a, ∴r=. ∴球的体积V=π()2=4π. 答案：B 评述：此题的关键是寻找球半径与其内接正方体棱长之间的关系. ［例2］正三棱锥P—ABC的侧棱长为l,两侧棱的夹角为2α，求它的外接球的