《不等式的证明.docVIP

目 录 摘要 I Abstract II 第一章 绪论 1 第二章 不等式的高等数学证明方法 1 2.1 利用微分中值定理证明不等式 1 2.1.1 利用拉格朗日中值定理证明不等式 1 2.1.2 利用柯西中值定理证明不等式 3 2.1.3 利用罗尔中值定理证明不等式 4 2.2 利用函数的单调性证明不等式 5 2.3 利用泰勒展开式证明不等式 6 2.4 利用函数的最值和极值证明不等式 8 2.5 利用函数的凹凸性和詹森不等式证明不等式 9 2.6 利用重要不等式证明不等式 12 2.6.1 柯西-施瓦茨不等式： 12 2.6.2 伯努利不等式： 13 2.7构造矩阵证明一些不等式 14 2.7.1 基础知识 14 2.7.2 关于矩阵的三个引理 14 2.7.3 应用 15 第三章 结论 18 参考文献 19 致谢 20  浅谈不等式的高等数学证明方法 摘要 不等式是研究数学问题的十分重要的工具。它渗透在数学的各个部分，在高等数学中有极其重要的应用。但是有关不等式证明的高等数学的方法研究一直缺乏系统的理论层面的提升。本文从微分中值定理、函数的单调性、泰勒展开式、函数的最值和极值、函数的凹凸性等高等数学的层面对不等式的证明方法进行了深入有益的探讨。 关键词： 高等数学； 不等式的证明； 微分中值定理； 单调性； 最值和极值 INTRODUCTION TO THE PROOF METHODS OF INEQUALITY IN ADVANCED MATHEMATICS Student: Pu Sisi Supervisor: Liu Liu Abstract Inequation, one of the most important tools in mathematics study, is widely applied in various fields, especially in advanced mathematics. However, the researches on inequation-proving are still at a lower theoretical level. So, in this paper, we try to probe into the methods of inequation-proving from the differential mean value theorem, monotonic of function, Taylor expansion, the value dandy the extreme value of function, function of concave and convex levels of inequality proof of higher mathematics methods. Keywords: advanced mathematics; prove the inequality; differential mean value theorem; monotonic; the most value and extremism  第一章 绪论 不等式的证明是高等数学中经常遇到而又比较困难的问题之一，不等式的讨论在高等数学中起着重要的作用。不等式是讨论数量大小的，而这种数量之间大小关系的比较能广泛的显示出变量之间相互制约的关系，从而进一步研究、估计函数变化状态的趋势。高等数学主要是用极限概念来解决具体问题，而极限概念是由不等式定义的，它是描述某一序列或函数在变化的过程中某一时刻以后“无限接近”、“无限增减”或“摇摆不定”等情况，这用某些具体的量相等的关系是不好描述的，只有用不等式才能反映出“某一时刻”以后函数的变化状态。不等式的证明是高等数学中的一个重要的研究方向，它们的证明方法丰富多彩，多种多样，在解题过程中要掌握技巧，灵活运用。有些不等式若用初等方法证明常常会造成复杂的运算过程，如果运用高等数学中的微分中值定理、函数的单调性、泰勒展开式、函数的极值和最值、函数的凹凸性等知识，就可以十分有效的解决不等式中的证明问题。 第二章 不等式的高等数学证明方法 2.1 利用微分中值定理证明不等式 2.1.1 利用拉格朗日中值定理证明不等式 如果函数满足：在闭区间连续；在开区间内可导，则存在且，使得函数满足。利用拉格朗日中值定理的方法来证明不等式关键是将所要证明的结论与已知条件归结为一个函数在某区间上的函数增量，然后利用中值定理转化为其导数的单调性等问题。 拉格朗日中值定理只肯定在内至少有一点，使等式成立，但对的确切位置未做任何规定，但是这