《人教版高二数学选修12参考资料学案.doc

2.1合情推理与演绎推理学习目标：重点：难点：学习策略：知识要点梳理知识点一：推理的概念知识点二：合情推理整体，个体一般 （3）一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质； ②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题； ③检验猜想. （4）归纳推理的结论可真可假 归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想； 一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的. 2.类比推理 （1）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.　　 （2）一般模式：特殊特殊　 （3）类比的原则：可以从不同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据当前问题的需要，选择恰当的类比对象.　　 （4）一般步骤： ①找出两类对象之间的相似性或一致性； ②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命题（猜想）； ③检验猜想.　　 （5）类比推理的结论可真可假 类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象，同时又应是两类不同的对象；一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性，所以类比推理所得的结论不一定是正确的。 知识点三：演绎推理的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都具有性质 （4）演绎推理的结论一定正确　　 演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理。 规律方法指导合情推理与演绎推理的区别与联系经典例题透析类型一：归纳推理的前项和的归纳过程. 思路点拨：依题意，表示数列的前项和，即.为此，我们先根据该公式，算出数列的前几项，通过观察进一步归纳得出与的对应关系式.　　解析：对数列的前项和分别进行计算：　　　　　，，　　　　　，　　　　　，　　　　　.观察可得，数列{Sn}的前五项都等于1到相应序号的自然数之和的平方，由此猜想数列的前项和.　 总结升华： ①本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归纳推理.　 ②归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一　　 ③归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明.在归纳猜想数列的前项和公式时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系.　　④虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，对于数学的发现却是十分有用的. 举一反三：　　 【变式1】用推理的形式表示等差数列1，3，5，…，（2－1），…的前项和的归纳过程.　　 【答案】对等差数列1，3，5，…，（2－1），…的前1，2，3，4，5，6项的和分别进行计算： ；　 ； ； ； ； ： 观察可得，前项和等于序号的平方，由此可猜想.　　 【变式2】设，计算的值，同时归纳结果所具有的性质，并用验证猜想的结论是否正确. 【答案】　　　　　　 ，　　　　　　 ，.　 ∵43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都为质数 由此猜想，为任何正整数时，都是质数.　 验证：当时，，为合数， 因此猜想的结论不正确. 【变式3】在数列中，a1=1，且，计算a2、a3、a4，并猜想的表达式.　　 解析：，，，　猜想：. 2．平面内的1条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，n条彼此相交而无三条共点的直线，把平面分成多少部分？　　 思路点拨：可通过画当直线条数n为3，4，5时，分别计算出它们将平面分成的区域数，从中发现规律，再归纳出结论. 解析：设平面被n条直线分成部分，则： 当n=1时，S1=1+1=2； 当n=2时，S2=1+1+2=4； 当n=3时，S3=1+1+2+3=7； 当n=4时，S4=1+1+2+3+4=11.　据此猜想，得. 举一反三： 【变式1】平面中有n个圆，每两个圆都相交于两点，每三个圆都无公共点，它们将平面分成块区域，有，，，……，则的表达式是___________.【答案】 【变式2】图（a）、（b）、（c）、（d）为四个平面图形　 　　 （1）数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们将平面各分成了多少个区域？（2）推断一个平面图形的顶点数，边数，区域数之间的关系. 【答案】 （1）各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：