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《推理与证明数学归纳法一轮复习资料
062 推理与证明数学归纳法
【教学目标】
(一)合情推理与演绎推理
1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用。
2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理。
3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
(二)直接证明与间接证明
1.了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。
2.了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。(三)数学归纳法
了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
【考点要求】合情推理与演绎推理
2.合情推理包括 和 ;
归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.。归纳推理的基本模式:a,b,cM且a,b,c具有某属性,结论:dM,d也具有某属性。
类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,简称类比。简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理。类比推理的基本模式:A:具有某属性a,b,c,d;B具有某属性;结论:B具有属性。(a,b,c,d与,相似或相同)
3.演绎推理::从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理。简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理。
(1)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
第一段:大前提——已知的一般原理;
第二段:小前提——所研究的特殊情况;
第三段:结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.
(2)三段论常用格式为:①M是P,② S是M,③S是P;其中①是 ,它提供了一个个一般性原理;②是 ,它指出了一个个特殊对象;③是 ,它根据一般原理,对特殊情况作出的判断.用集合说明:即若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P。
4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,归纳和类比是合情推理常用的思维方法;在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程.
5.直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明;
直接证明的两种基本方法——分析法和综合法
⑴ 综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法。 框图表示: (其中P表示条件,Q表示要证的结论)。
综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法。
⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫分析法。框图表示:。
分析法的思维特点是:执果索因;
分析法的书写格式: 要证明命题B为真,只需要证明命题为真,从而有……,这只需要证明命题为真,从而又有……这只需要证明命题A为真,而已知A为真,故命题B必为真。
6. 间接证明:间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法。
反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这种证明方法叫反证法。
反证法的步骤:1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;2)从这个假设出发,通过推理论证,得出矛盾;3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。注意:可能出现矛盾四种情况:①与题设矛盾;②与反设矛盾;③与公理、定理矛盾④在证明过程中,推出自相矛盾的结论。
应用关键:在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等).
方法实质:反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,即由一个命题与其逆否命题同真假,通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命题真实.
7.数学归纳法:对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当取第一个值时命题成立;然后假设当(,≥)时命题成立,证明当命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.
数学归纳法的基本思想:即先验证使结论有意义的最小的正整数,如果当时,命题成立,再假设当(,≥)时,命题成立.(
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