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第六讲 数理统计 8+8+5 （6＋5+5） 本讲内容 §6.1 样本与抽样分布 §6.2 参数点估计与优良标准 §6.3 参数的区间估计 §6.1总体, 样本和抽样分布 6.1.1 总体和样本的概念与关系 1. 概念 总体X、样本X1, X2, …,Xn和样本观测值x1, x2, …,xn ； 样本的矩： ， 和 总体的矩 和 ， 2. 矩间关系 3. 分布间关系及经验df FXj(x)=F(x) 且 定义（经验df） 此时 . 定理(Гливенко) 由 x1, x2, …,xn 决定的经验df Fn*(x), 对x一致地收敛到总体df F(x)， 6.1.2 常用抽样分布与统计量 1. 正态总体N (?, ? 2)常用的样本函数 样本均值~ N (?, ? 2/n)，故 2) Kn2 : = ~ 3) K 2 : = ~ 的分布，及?X和样本方差S2独立. 4) ~ t (n?1)分布. 5) ~ F (n?1, m?1). 2. 正态总体常用的样本函数间的关系 3. ?2-分布、t-分布和F-分布性质与百分位点 6.1.3 常用抽样分布(典型模式) 定义与典型模式: ?2(n)分布: n个独立的标准正态变量的平方和的分布. t(n)分布: 设rv U与V2独立，且分别～N(0, 1)和?2(n)分布，则, F(n, m)分布: 设rv U 2与V 2独立，且分别~ ?2(n)和?2(m)分布，则. 2. 正态总体常用的样本函数间的关系 3. -分布、t-分布和F-分布性质与百分位点 [ 典型例题 ] 样本与样本函数 例6.1.1 设X1, X2, …,Xn是总体X的容量为n的简单样本. 如总体, 其中 p, q, r ? 0, p + q + r = 1. (1) 求X1 ? X2方差; (2) 求 顺序统计量X(n)=max{ X1, X2, …,Xn}的分布; (3) 设n 10, 求 P( min{k: Xk ?0, 1?k?10}=3). 如果r = 0,其余题设不变。 (4) 求样本均值的精确分布; (5) 利用中心极限定理求当n充分大时样本均值的近似分布 解 (1) EX 1 = p ? q , EX12 = p ? q , DX 1 = EX12 ? (EX 1)2 = p ? q ??p ? q)2 . D(X 1 ?X 2 ) = 2 DX 1 =2[ p ? q ??p ? q)2 ] (2) (3) P( X 1 =0 ) = r , P( X 1 ? 0 ) = 1 ?? r = p + q , P( min{k: Xk ?0, 1?k?10}=3) = r 2 ?p ? q) 或 = r 2 ?? ? r) . (4) r = 0,X1, X2, …,Xn iid, , 0 p, q1, p +q = 1. 令， 则，且 又 , 故 . (5) , . 由iid中心极限定理(Lin-Levy)知有近似正态分布. 从而当n足够大时, . 抽样分布与典型模式 例6.1.2设X1, X2, …,Xn是来自总体X~ N(0, ? 2)的简单随机样本，则统计量 (1) 如n =15, 则 服从的分布是_____. (2) 如果n =2m, 则 统计量 ~ _________分布. 而统计量 ~ ___________分布. 【t(m); F(1, n?1)】 （3） 如果 X ~ N(?, ? 2), 则?X ?X1 ~_____________ 分布; ?未知时, 总体X的? 的置信度为1 ? ? 的双侧对称置信区间为________________________________. 【N(0, (n?1)? 2/n), (?X-t?/2(n?1)S/(n)1/2, ?X+t?/2(n?1)S/(n)1/2)】 (4) 对下列总体, 完成填表: X 的分布 和的分布 n足够大时?X的近似分布 设为0-1分布 设 ~ P(?) 【 X 的分布 和的分布 n足够大时?X的近似分布 为0-1分布 B(n, p) N (p, p(1?p)/n) 设 ~ P(?) P(n?) N (?, ?/n) 】 【例 (01-3-1(5)) 设总体X服从正态分布N(0, 2 2),而X1, X2, …,Xn是来自总体X的简单随机样本, 则rv服从 分布, 参数为