《1第一节中值定理.docVIP

习题 3-1 .下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值. ，； ，. 解: 因为是多项式函数，所以在上连续，在内可导，且，，所以函数在上满足罗尔定理的所有条件. 解方程，得. 因为，所以在上连续，在内可导，且，，所以函数在上满足罗尔定理的所有条件. 解方程，得. .验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性. 解：验证定理，包括验证定理条件与结论两部分. 因为是多项式函数，所以在上连续，在内可导，且，解方程 ， 得.故拉格朗日中值定理是正确的. .试证明对函数应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间. 证明：设在上连续，在内可导，则由拉格朗日中值定理，至少存在一点，使得 ， ， 所以， ， 又因为，所以，故 . .一位货车司机在收费亭处拿到一张罚款单，说他在限速为公里/小时的收费道路上在小时内走了公里.罚款单列出的违章理由为该司机超速行驶.为什么？ 解：货车在时间段上行驶的平均速度是公里/小时，由拉格朗日中值定理，至少存在某时刻，使得在此时刻的瞬时速度是平均速度公里/小时，它是超过限速公里/小时，故该司机超速行驶. .世纪郑和下西洋的最大的宝船能在小时内一次航行海里.试解释为什么在航行过程中的某时刻宝船的速度一定超过海里/小时. 解：宝船在时间段上行驶的平均速度是海里/小时，由拉格朗日中值定理，至少存在某时刻，使得在此时刻的瞬时速度是平均速度海里/小时，它是超过海里/小时的. .一位马拉松运动员用了小时跑完了马拉松比赛的公里的全程.试说明该马拉松运动员至少有两个时刻正好以公里/小时的速度跑. 解：运动员在时间段上行驶的平均速度是公里/小时，由拉格朗日中值定理，至少存在某时刻，使得在此时刻的瞬时速度是公里/小时. .函数与在区间上是否满足柯西中值定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值. 解：显然，与在区间上连续，在内可导，且对内，所以与满足柯西中值定理的所有条件. 解方程 ，得. .设在上连续，在内可导，且.求证：存在，使. 证明：设，因为在上连续，在内可导，所以在上连续，在内可导，且. 由罗尔中值定理，至少存在一点，使得 ， 即 . .若函数在内具有二阶导函数，且 ，证明：在内至少有一点，使得. 证明：因为在内具有二阶导函数，且，所以在上可导，从而在上连续，又，所以在和上都满足罗尔中值定理，从而，在内至少存在一点，使得；在内至少存在一点，使得. 因为在内可导，所以在上可导，进而在上连续，又，故由罗尔中值定理，至少存在一点，使得. .若次方程有个不同的实根，证明 的所有根皆为实根. 证明：设方程的个不同的实根分别是，，，，则；又是四次多项式函数，在上连续，在内可导，所以在，上都满足罗尔定理条件，分别至少有，，，使得，， ， 从而方程至少有三个实根. 又是三次方程，至多有三个根.从而，方程恰好有三个实根. .证明：方程只有一个正根. 证明：存在性 设，因为在上连续，且，，则由零点定理，至少存在一点，使得，即方程 在内至少有一根. 唯一性 用反证法，设另有，，使得.函数在以，为端点的闭区间上满足罗尔定理的条件，所以，至少存在一点（介于，之间），使得.但 ，，矛盾！从而即为方程的唯一正根. .不用求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间. 解：因为在上连续，在内可导，且，所以在闭区间，，上都满足罗尔定理的三个条件，所以，在内至少存在一点，使得，即是方程的一个根；在内至少存在一点，使得，即是方程的一个根；在至少存在一点，使得，即是方程的一个根. 是的四次多项式，所以是三次方程，至多有三个根.从而，方程 恰好有三个实根，分别在区间，，内. .证明下列不等式： ； 当时，； 当时，； 当时，. 证明：设，在以，为端点的闭区间上满足拉格朗日中值定理，所以至少存在一点介于，之间，使得 ， 即 ， 因为，所以 . 设，在上满足拉格朗日中值定理，则至少存在一点， 使得 ， 因为，所以，从而有 ， 即 ，进而有 . 设，在上满足拉格朗日中值定理，则至少存在一点，使得 ， 即，因为，所以 ， 因为，从而有 ， 即 . 当时，. 设，在上满足拉格朗日中值定理，则至少存在一点，使得 ， 即 ，因为，所以 ， 从而有 ， 即 . .证明等式： . 证明