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焦点三角形若干性质探究 华东师范大学松江实验高级中学 金德江 定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫焦点直角三角形。 与这个三角形有关的问题是高考的热点，经久不衰，题型灵活多样。为方便叙述，先介绍几个一般性结论。 1：该三角形一边长为焦距，另两边的和（差）为定值。 2：椭圆焦点三角形中，顶点在椭圆上的点到另两点的张角中，以短轴端点到这两点的张角最大。 简证1：可由定义得 2：设P是椭圆 （，为半焦距）上的一点，O为原点，E、F是椭圆的两焦点，， 则，由余弦函数图象性质知的最大值为，当且仅当P在短轴端点时取到该最大值。 一、考察两边和（差）的定值 例1（1）（2006四川卷）如图把椭圆的长轴AB分成8分，过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于,,……七个点，F是椭圆的一个焦点，则_____ 解：只需取椭圆的另一焦点与,,……七个点分别连接，由结论1和对称性可知 （2）（2006江西卷）9、P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ） A. 6 B.7 C.8 D.9 解圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1的圆心为双曲线的左右焦点，分别设为点，对于双曲线的右支上一点，是圆（x＋5）2＋y2＝4上的动点，的最大值为，是圆（x－5）2＋y2＝1上的动点，的最小值为 由结论1|PM|－|PN|的最大值为，故选 二、考察结论2的张角最大问题 例2（2004湖南卷） 解由结论2，的最大值为= 2个 注：该题若改变数值使 的最大值为钝角，则可得4点，亦可变条件为，则在上可得到更多满足条件的点。（亦可转化以中心为圆心，以c为半径的圆与椭圆的交点个数） 三、考察焦点直角三角形 例3 （1）2007全国2卷11．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（ B ） A． B． C． D． 解由题意 由勾股定理 离心率为 （2）（2001上海）设F1、F2为椭圆＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|,求的值. 解由题意， 若为直角，则，即 得，，故 若为直角，，即 得，，故 注：该题易忽略为直角，想当然的认为只是为直角 四、与向量结合探究焦三角形 例4（1） 2007四川文21设、分别是椭圆的左、右焦点． （Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的作标；（Ⅱ）略 解析：（Ⅰ）易知，，． ∴，．设．则 ，又， 联立，解得，． （2）2007四川（20）设、分别是椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值; （Ⅱ）略 解：（Ⅰ）易知 所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 五、考察焦点三角形的面积 例5 （1） 2007辽宁（理）设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ B ） A． B． C． D． 解由题意 ∴ 又，∴为，可得其面积为12。 (2)2003北京春考：P是椭圆 上一点，是两个焦点，是椭圆中心，若是面积为的正三角形，求的值 解是面积为的正三角形，∴其边长为2，即半焦距=2 在中，可得= ∴ 即 ∴ 六、综合考察焦点三角形 例6 2007天津22．设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为． （Ⅰ）证明；（Ⅱ）略 解（Ⅰ）由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即． 解得，从而得到． 在三角形中由面积相等得： ∴ ∴ 该题也可求解直线的方程，利用点到该线的距离求解，运算较繁，有关焦点三角形的问题，要增强解三角形的意识。 练习 1（2000全国卷）椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是 。 2已知双曲线的两个焦点为 ， 求该双曲线的方程。 3（2002）上海春考 已知F1、F2为双曲线(a0,b0)的焦点， 求该双曲线的渐进线方程。 4（2007）浙江已知双曲线的左、右焦点分别为，，是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是（B　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5（2005）全国卷Ⅱ（理6）已知双曲线的焦点为、，点M在双曲线上且轴。则到直线的距离为（ ） A B C D 6（2005）全国卷Ⅲ（10）已知椭圆的两个焦点为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ） A B C D