《华师一附中2012届高三新课标第一轮复习教案第八章第四讲：双曲线中的位置关系及应用.docVIP

第四讲 双曲线中的位置关系及应用 教学目的：点与、直线与的位置关系弦长的计算直线与的位置关系 教学难点：直线与的位置关系 【知识概要】 知识点 直线与双曲线的位置关系 一般地，设直线: y=kx+m (m≠0)， ① 双曲线C: =1 ②把①代入②得： (b2-a2k2)x2-a2mkx-a2m2-a2b2=0. （1）当b2-a2k2=0，即k=±时，直线与双曲线渐近线平行或重合，直线与双曲线C相交于一点或没有公共点，如图8-77所示。 （2）当b2-a2k2≠0，即k≠±时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). △0直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； △=0直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； △0直线与双曲线没有公共点， 此时称直线与双曲线相离。 指出：（1）直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。因为当直线与渐近线平行（不重合）时，该直线与渐近线相交且只有一个交点。 （2）过焦点的直线截双曲线的弦长中，通径长与实轴长是两个主要的“分水岭”。过焦点F2作直线：若仅与右支相交：则当所得弦长等于时，这样的直线仅有1条；当所得弦长大于时，这 样的直线有2条；当所得弦长小于时，这样的直线不存在。 若与左、右支都相交：则当所得弦长等于2a时，这样的直线仅有1条；当所得弦长大于2a时，这样的直线有2条；当所得弦长小于2a时，这样的直线不存在。 （）与圆有且只有一个交点的直线，称为圆的切线，这一定义只适合于圆，当然也可扩大到椭圆与其他一些曲线，但不适合于双曲线和抛物线.例如,x轴与抛物线y2=2px(p＞0)显然有且只有一个交点，但对于这条抛物线来说，y轴是它的一条切线,x轴不是它的切线.在高等数学中可以证明，平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且只有一个交点，但它不是双曲线的切线. 在高等数学中，曲线在某一点处的切线是这样定义的： 如图，已知P是曲线C上的某一点，l1是经过点P的一条割线，与C相交于点Q1.让l1绕点P旋转到l2的位置，l2与C相交于点Q2.将这一绕点P旋转的过程继续下去，得到一系列割线l1,l2,……,它们与C的交点Q1，Q2，……逐步向点P靠近.那么，我们把这一系列割线的极限同置，即图中的直线l，叫做曲线C在点P处的切线. 焦点三角形与椭圆类似，双曲线上一点P与两焦点构成的通常称为双曲线焦点三角形在焦点三角形中，运用双曲线定义，正弦定理，余弦定理同样可得到许多有用结论： 设由正弦定理得：（设）， ， 再设，由余弦定得知 即 【基础题典例解析】 例直线与双曲线的位置关系过双曲线x2-=1的左焦点F1，作倾斜角为的弦AB，求： （1）|AB| （2）F2AB的周长（F2为双曲线的右焦点） 解：（1）双曲线的焦点F1(-2,0)、F2(2,0)，直线AB方程y=(x+2)代入双曲线方程，得8x2-4x-13=0. 设A(x1,y1)、B(x2,y2)，x1+x2=,x1x2=-. 解法一：|AB|==。 解法二：根据双曲线第二定义得 |BF1|=a+ex2=1+2x2，|AF1|= -(a+ex1)=-1-2x1, |AB|=|BF1|-|AF1 |=1+2x2-(-1-2x1)=2+2(x1+x2)=3. （2）由双曲线第二定义得|AF2|=-(ex1-a)=a-ex1=1-2x1, |BF2|=ex2-a=2x2-1, |AF2|+|BF2|=1-2x1+2x2-1=2(x2-x1)=2=2.F1AB的周长为3+3。 指出：本题中|AB|恰好是焦点弦，求焦点弦长，对双曲线应区分两种情况处理：如果两个交点分别在左右两支上，则|AB|=|BF1|-|AF1|. 如果两个交点在同一支上， |AB|=|AF1|+|BF1|。 例2 （求双曲线的方程）设双曲线的顶点是椭圆的焦点，该双曲线又与直线交于两点A、B，且OA⊥OB（O为原点）。 （1）求此双曲线方程； （2）求 |AB|。 解：（1）已知椭圆的焦点是(0,±1)，此即是双曲线的顶点，因此可设双曲线方程为y2-mx2=1 (m0) ①。又直线方程为 ②， 设A(x1,y1)、B(x2,y2),则A、B的坐标是方程①、②组成的方程组的两个解，36(y2-mx2)= ③. ∵、是方程③的两根，所以·=-。又由OA⊥OB，知·=-1，∴-=-1解得m=, 代入 ① 得双曲线方程：y2-=1。 （2）设AB的中点为M(x0、y0)，则在Rt△ABO中，可知|AB|=2|OM|=2 ④。由于，两式相减得。∵A、B在直线上， ∴，又∴ ⑤。 又点M(x0,y0)在直线上，∴， ⑥ 由