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变限积分的性质 摘 要 变限积分是微积分学基本定理之一，是一类很重要的函数，是产生新函数的重要工具，同时它也是连接不定积分和定积分的桥梁，可见它在微积分学中的重要地位。本文通过对变限积分的定义进行简介，对变限积分的性质进行介绍及举例，包括变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性，还介绍了变限积分的一些应用。通过这些介绍及得到的有关结论，希望可以让我们更加理解变限积分的作用、地位和价值，在以后研究学习中有所帮助。 关键词：变限积分；连续性；可微性；奇偶性；单调性；周期性；应用 引言 随着时代的要求和科技的进步，由于函数概念的产生和运用的加深，一门新的数学分支——微积分学产生了，而极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，微积分是与实际联系着发展起来的在许多科学领域中，有越来越广泛地应用，可见微积分在数学发展中的地位是十分重要的，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。积分学是微积分中重要的一部分内容，积分学可分为不定积分和定积分，而变限积分就是一种特殊的定积分，它具有许多特殊的性质，比如连续性、可微性、奇偶性等，它是我们学习积分学经常考察的一个知识点，研究它的性质对我们学习微积分有重要的意义。下面我们将介绍变限积分的概念、性质和应用。 变限积分的概念与理解 1.1变限积分的定义 设在上可积，根据定积分的性质，对任何，在也可积，于是，由 （1） 定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分或积分上限函数.类似地，又可定义变下限的定积分： （2） 与统称为变限积分; 变量复合函数定义为： 其中、是定义在上的函数且，. 注：在变限积分（1）与（2）中，不可再把积分变量写成（例如），以免与积分上、下限的混淆。 1.2对变限积分基本概念的理解 例题 ，计算（1）（2）（3）并由此说明不定积分、定积分、变上限积分三者之间的联系。 解：（1）= （2） （3） 不定积分表示的含有任意常数的原函数；积分是上限变量的函数，也是的一个原函数；而定积分表示一个数，它是的任意一个原函数在与两点处函数值之差。笼统地说，定积分是数，变上限积分是一个函数，而不定积分是一族函数。即为；此处取可得，;取时，，三者既有联系又有区别。 变限积分的性质 2.1连续性： 若在上可积，则 在都连续. 2.2可微性（原函数存在定理） 若在上连续，则2.1中的在上可导且 . 这就是说：函数是在上的一个原函数;函数是在上的一个原函数。 注:2.2建立了导数、积分这两个看起来似乎毫不相关的概念之间的内在联系，它证明了“连续函数必有原函数”的基本结论，而且说明了是的一个原函数。此2.2的这个结论在微积分学中具有十分重要的地位，被称为“微积分基本定理”. 2.2.1推论 若在连续，在上可导且，，则在上可导，且 . 2.2.2推论 若在连续，、在上可导且，、，则在上可导，且 2.2.3牛顿-莱布尼茨公式 由微积分基本定理，我们还能得出一个重要的公式，即牛顿-莱布尼茨公式： 若函数在上连续，且是在上的一个原函数，则 例1 下列计算是否正确？若有错，请订正. （1）； （2）； （3）﹒ 解 （1）正确.因被积函数是连续函数，变上限定积分 对上限变量求导数，就等于被积函数在上限变量x处的值，即 （2）错误.因为上限是的函数，需要利用复合函数求导公式， （3）错误. 因为下限是的函数，需转化为变上限函数积分求导问题 例2 设函数连续，且，试求 分析 由于的变上限积分表示式的被积函数中出现了积分上限变量，故不能直接利用公式来求导数.需先将改写成积分的被积表达式中只含积分变元t的形式，在对其求导. 解 =