《四面体中的几何不等式研究.docVIP

四面体中的动点不等式初探 孙世宝 安徽省马鞍山市丹阳中学 243121 [摘要] 本文对四面体中的几何不等式的研究方法进行了一下探讨,并利用这些方法获 得了四面体中的若干不等式. [关键词] 四面体 动点不等式 埃尔多斯---莫德尔不等式 推广 几何不等式 猜想 一 引言与引理 若空间不共面三条直线共点于（不共点可平移），在这三条直线上各取异于的一点，记四面体的体积为我们把 称为直线所成的空间角(也可以推广到高维空间，一般书上是利用向量Gram行列式定义的，称为r阶空间角），细节可参阅文献[1],这个定义更加简洁些. 以下设是任意四面体内或边界（形成一凸域)上一动点， V表示此四面体的体积，,； 记，为到四面体顶点的距离，且约定； 为到所对的四面体表面的距离； 表示到四面体的棱的距离,；我们约定 且约定表面的指向四面体外侧的单位法向量为, 是顶点对的表面所成的内二面角； 又以代表前述三角形的面积,表示四面体相应面上的高；分别表示循环和与积. 我们还定义四面体的顶角为过顶点直线所成的空间角，过P的三直线所成的空间角为一般称为以为顶点的内顶角. 关于动点的P的函数对于凸域中的任意两点,若满足 ，则我们是上的凸函数（凹函数). 如果上述等号仅在重合时取到，则称为严格凸（凹）的. 引理1 ： 这是三维单形的基本向量关系式，证明略. 引理2 若 且 则有 证明：先证明时命题成立,即 由知 而 这样于是 即 引理3 空间凸域内动点到定点、定直线、定平面的距离函数都是凸的; 如果凸域在定平面的某一侧,则动点到此平面的距离函数既凸且凹. 引理4 凸域上的连续函数凸函数最大值能在边界上取到如果边界是平面多边 形（即凸域是闭多面体），最大值能在多面体的某个顶点取到. 引理5 为上的凸函数，为非负常数，则也是 上的凸函数. 引理6 非负函数在凸域上是凸的,常数则函数在上也是凸的. 这三个引理的证明可参考文献[2]. 对于四面体的以为顶点的四个内顶角有如下的结果 (证明见文献[1]) 引理7 几个关于四面体的几何不等式 1. 向量法 下面的符号同引言中所述，我们建立几个四面体围成的闭域内动点 的若干个不等式.（我们推导时假设P是内点） 定理1 内部一点，则有如下的不等式 证明 利用引理1知是单位向量，且任意三者不共线，于是由引理2知 运用余弦定理 定理2 已知实常数 则有特别地有 证明 如图过作截面，使得 即 由引理1（2）知 设到平面的距离为由体积关系有 于是得到 令 （至于为什么能作出截面可解释如下：先由方程用面积公式可以解出 定出平面，过P作它的平行平面即得BCD） 推论1 （仅对才会取到等号，此时） 证明 由定理2知而 于是 完全类似地有相加即得推论1. 此结论显然可视为三角形中埃尔多斯—莫德尔不等式的三维类似. 由,...,结合幂平均的单调性可得到 推论2 为满足的常数. 推论3 证明 利用得到 其中由引理1(2)及引理2知 而 完全类似地于是 关于这个问题的最好结果,我们以后面的猜想2给出. 定理3 设四面体的12个面角（各表面三角形内角）中正弦最大值记为 不妨设则有 证明 利用引理1（1）知 其中 类似地于是有 对下标轮换并求和，并注意的规定，即得定理3中不等式. 将这一结果应用于正四面体：等号可在正四面体顶点处取到. 类似于定理2有如下的结果 定理4 对于给定的任意正实数 特别地 证明 动点在相应表面的射影是,平面则 于是 可见 如图设设由于 由面积关系知于是定理得证. 同前面的推论3证明完全类似,利用定理4我们可以证明 推论4 更好的结果我们以后面的猜想4给出. 2. 函数法(函数凹凸性) 下面我们利用函数凹凸性给出比定理3更好的一个结果 定理5 约定 证明 由引理3、5,为四面体围成的闭凸区域 上的连续凸函数,由引理4知它的最大值可在四面体的顶点处取到, 只要即可,由此不难得到定理4. 此处的是最优的 定理6 为的常数,常数. 由引理4、5、6,函数为四面体围成区域上的凸函数