《1.3二项式定理.docVIP

1．3　二项式定理 教材分析　　　　　 《二项式定理》是多项式运算的推广．在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的形式，即二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙，只是在中学阶段还没有显示的机会．将本小节内容安排在计数原理之后来学习，一方面是因为二项式定理的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也为学习随机变量及其分布做准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的性质有很大好处．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识． 二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思想是“先猜后证”．与以往教科书比较，猜想不是通过对n取1、2、3、4的展开式的形式特征的分析而归纳得出，而是直接应用两个计数原理对(a＋b)2展开式的项的特征进行分析．这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也是为证明猜想提供了基本思路． 课时分配　　　　　 3课时 1．3.1　二项式定理 教学目标　　　　　 知识与技能 1．能用计数原理证明二项式定理； 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 过程与方法 1．运用归纳的方法，经历多项式的展开由2到n的过程； 2．引导学生借助计数原理与组合知识证明二项式定理． 情感、态度与价值观 1．培养学生的归纳思想、化归思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力； 3．培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力． 重点难点　　　　　 教学重点：用计数原理分析(a＋b)2的展开式，得到二项式定理． 教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律． 我们已学过计数原理、排列、组合的有关概念和公式，请同学们回顾： (1)两个计数原理的内容是什么？ (2)排列的定义与排列数公式是什么？ (3)组合的定义与组合数公式是什么？ 活动设计：学生先独立回忆，必要时可以看书，也可以求助同学． 活动结果：(板书) (1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法； 分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． (2)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. (3)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．C＝＝. 设计意图：复习已经学过的计数原理、排列、组合的有关知识，让学生回顾认知基础，形成认知环境，为二项式定理的引入打下基础． 提出问题：如何利用两个计数原理得到(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3的展开式？ 活动设计：教师提出问题，引导学生关注展开的两个步骤：(1)用乘法法则展开；(2)合并同类项．学生先独立思考，允许小组合作． 活动成果： (a＋b)1＝a＋b (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝(a＋b)2(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 设计意图：引导学生将(a＋b)2与(a＋b)3的展开式与两个计数原理联系起来，教师提醒学生，用计数原理分析展开式的项数，应当分析项中的字母是如何选取的，并引导学生分析同类项的个数，得到展开式的系数． (a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)的展开式各项都是4次式，即展开式的各项应该具有如下形式：a4，a3b，a2b2，ab3，b4. 提出问题1：(1)以a2b2项为例，有几种情况相乘均可得到a2b2项？这里的字母a，b各来自哪个括号？(2)既然以上字母a，b分别来自4个不同的括号，a2b2项的系数你能用组合数来表示吗？(3)你能将问题(2)所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？ 活动设计：学生自由发言． 活动成果：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b.每个括号只能取一个字母，任取两个a、两个b，然后相乘． 设计意图：帮助学生找到求出展开式系数的基本方法． 提出问题2：请用类比的方法，求出二项展开式中的其他各项系数，并将式子： (a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝(　)a4＋(　)a3b＋(　)a2b2＋(　)ab3＋(　)b4 括号中的系数全部用组