《2.1第1课时正弦定理学案北师大版必修5.docVIP

第二章　解 三 角 形 本章概述 ●课程目标 1.双基目标 （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量学、力学、运动学以及几何计算等有关的实际问题. 2.情感目标 （1）通过对任意三角形边角关系的研究，培养学生的归纳、猜想、论证能力及分析问题和解决问题的能力. （2）通过解决一些实际问题，培养同学们的数学应用意识，激发同学们学习数学的兴趣，感受到数学知识既来源于生活，又服务于生活. （3）正弦定理、余弦定理的探索和验证、使用计算器进行近似计算等.一方面，同学们借助技术手段，从事一些富有探索性和创造性的数学活动，可以培养同学们的探索精神和创新精神；另一方面，借助计算器可以解决计算量大的问题，也可以根据实际需要进行近似计算，有利于激发同学们学习数学的兴趣. ●重点难点 重点：运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系，运用这两个定理解决一些测量以及与几何计算有关的实际问题. 难点：正、余弦定理的推导以及运用正、余弦定理解决实际问题. ●方法探究 1.注重知识形成的过程，通过从特殊到一般，再从一般到特殊的过程，引导我们从猜想、验证到证明等环节自主研究，从而养成良好的学习习惯. 2.注重数学与日常生活及其他学科的联系，发展数学应用意识，提高实践能力. 3.学习本章应注意的问题 （1）重视数学思想方法的运用.解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题时， 要注意函数与方程思想的运用. （2）加强新旧知识的联系.本章知识与初中学习的三角形的边、角关系有密切联系.同时要注意与三角函数、平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力. （3）提高数学建模能力.利用解三角形解决相关的实际问题，关键是读懂题意，找出量与量之间的关系，根据题意作出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型. §1　正弦定理与余弦定理 第1课时　正 弦 定 理 知能目标解读 1.通过对特殊三角形边长和角度关系的研究，发现正弦定理，并初步学会这种由特殊到一般的思想方法来发现数学中的规律. 2.掌握用向量法证明正弦定理的方法，并能用正弦定理解决一些简单的三角形相关的度量问题. 3.学会用三角函数及计算器求解一些有关解斜三角形的近似计算问题. 重点难点点拨 重点：正弦定理的证明及利用正弦定理解题. 难点：已知三角形的两边和其中一边的对角，判定三角形解的情况. 学习方法指导 一、正弦定理 1.正弦定理指出了任意三角形的三边与对应角的正弦之间的关系式.结合正弦函数在区间上的单调性知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中的边与角的一种数量关系. 2.正弦定理的证明 正弦定理的证明，教材上通过构造向量投影相等的方法进行了证明.除此之外，还可以运用向量法和三角函数定义法给予证明. 方法一：建立直角坐标系，借助三角函数的定义进行证明. 在如图所示的直角坐标系中，点B,C的坐标分别是 B（ccosA,csinA）,C(b,0).于是S△ABC=bcsinA.同理S△ABC还可以表示成absinC和acsinB. 从而可得==. 方法二：如图所示：当△ABC为锐角三角形时，设边AB上的高为CD，根据三角函数的定义，有CD=bsinA,CD=asinB,  所以bsinA=asinB,即＝; 同理可得=. 所以＝＝. 如下图所示，当△ABC为钝角三角形时，设A为钝角，AB边上的高为CD， 则CD=asinB,CD=bsin(180°－A)=bsinA. 所以asinB=bsinA,　 即＝; 同理＝. 所以＝＝. 当△ABC为直角三角形时，上式也成立. 方法三:如下图所示：过A作单位向量j垂直于.由+=， 两边同乘以单位向量j,得j·（+）=ｊ·. 则j·+j·=j·. ∴１j|||cos90°+|ｊ|||cos(90°-C)=| j|||cos(90°-A). ∴asinC=csinA. ∴=. 同理，过C作j垂直于，得=, ∴==. 二、利用正弦定理解三角形的类型 （1）已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解. （2）已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解，在△ABC中，已知a,b和∠A时，解的情况如下：. ∠A为锐角 ∠A为钝角或直角 图　形 关 系 式 ①a=bsinA ２a≥b bsinAab absinA ab a≤b 解的个数 一解 两解 无解 一解 无解