《2.2微分中值定理.docVIP

§2.2 微分中值定理 一、罗尔定理 设函数满足 （1）在闭区间［a,b］上连续； （2）在开区间（a,b）内可导； （3）. 则至少存在一点，使得. 几何意义：条件（1）说明曲线在和之间是连续曲线［包括点A和点B］. 条件（2）说明曲线在A，B之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x轴的切线［不包括点A和B］ 条件（3）说明曲线在端点A和B处纵坐标相等。 结论说明曲线在A点和B点之间［不包括点A和B］至少有一点，它的切线平行于轴。 注意：构造辅助函数时，可考虑以下形式 （1）（加法） （2）（加法） （3）（函数加导数） 【例1】设在上连续，在内可导，且，，试证：必存在，使。 证　在上连续，在上连续，且有最大值和最小值,于是；；， 故。 由连续函数介值定理可知，至少存在一点，使得 因此，且在上连续，内可导，由罗尔定理得出必存在，使得。 【例2】　设在上连续，在内可导，且. 求证：存在使 证　　由积分中值定理可知，存在，使得 得到　　　　　 对在上用罗尔定理（三个条件都满足）， 故存在，使 【例3】（07）设函数，在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，，证明：存在，使得。 分析：令在连续，在可导，在题设条件下，要证存在，。已知，只需由题设再证， 。 证明：由题设， 。 若，取，则。 若，不妨设，则， ， 由，对分别在和用罗尔定理，使得。 再对用罗尔定理，使得，即。 二、拉格朗日中值定理 设函数满足 （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导。 则存在，使得 或写成 有时也写成 这里相当或都可以，可正可负。 几何意义：条件（1）说明曲线在点和点之间［包括点A和点B］是连续曲线。 条件（2）说明曲线［不包括点A和点B］是光滑曲线。 结论说明曲线在A、B之间［不包括点A和点B］至少有一点，它的切线与割线AB是平行的。 推论1　　若在内可导，且，则在内为常数。 推论2　若在内皆可导，且，则在内，其中为一个常数。 推论3 设，在上连续，在内可导，则 （注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当时的特殊情形，就是罗尔定理） 【例1】　设不恒为常数的函数在上连续，内可导，且，证明内至少有一点ξ，使得. 证　由题意可知存在使得　 如果，则在上用拉格朗日中值定理存在，使 如果，则在上用拉格朗日中值定理存在，使， 因此，必有，使得　成立. 【例2】　设，，证明对任意，恒有 证　不妨假设，由拉格朗日中值定理有 ①，　　 ②，，从而可知， ∵，∵单调减少，于是 这样由①②两式可知　 因此，　成立. 【例3】(04)设，证明. 分析：即证，符合拉格朗日中值定理。 证明：令，在上用拉格朗日中值定理得 ， 其中。注意到， 则在单调下降 ，因此。 解法二 引入辅助函数，利用函数单调性 三、柯西中值定理 设函数和满足： （1）在闭区间上皆连续； （2）在开区间内皆可导且。则存在使得 （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理） 几何意义：考虑曲线的参数方程，点，点曲线上是连续曲线，除端点处是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线。 值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，,用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。 【例1】　设在上连续，内可导，且，证明：存在，使 证　　考虑柯西中值定理（待定） 最后一步是把分子用拉格朗日中值定理. 再把欲证的结论变形， 两式比较，看出令即可. 类似地，欲证，则取即可 四、泰勒定理（泰勒公式） 定理1　（皮亚诺余项的阶泰勒公式） 设在处有阶导数，则有公式 其中称为皮亚诺余项。 前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的，所以对常用的初等函数如（为实常数）等的阶泰勒公式都要熟记。 定理2　（拉格朗日余项的阶泰勒公式） 设在包含的区间内有阶导数，在上有阶连续导数，则对，有公式 其中（在与之间）称为拉格朗日余项 上面展开式称为以为中心的阶泰勒公式。当时，也称为阶麦克劳林公式。 如果，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。 【例1】　设函数在上二阶可导，且，. 求证：存在，使得 证　　先把在处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式 　　　 再把在处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式 　　　 在上面两个公式中皆取则得 　　　 　　　 两式相减，得，于是 因此　　　　　　 亦即证明存在，使　。 用泰勒公式求极限 【例1】　求. 解　∵　（当时） ∴原式＝ 考研高等数学基础班讲义 2.2.5