《2.3平面向量的基本定理及坐标表示1教学设计.docVIP

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（1）（教学设计） 2．3．1平面向量基本定理；2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 [教学目标] 一、知识与能力： 1． 了解平面向量基本定理。 2．掌握平面向量基本定理，理解平面向量的正交分解及坐标表示； 3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 二、过程与方法： 体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算 教学难点：平面向量基本定理． 一、复习回顾： 1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ （1）|λ|=|λ|||；（2）λ0时λ与方向相同；λ0时λ与方向相反；λ=0时λ= 2．运算定律 结合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ， λ(+)=λ+λ 3. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ. 二、师生互动，新课讲解： 思考：给定平面内任意两个向量e1,e2，请作出向量3e1+2e2、e1-2e2，平面内的任一向量是否都可以用形如?1e1+?2e2的向量表示呢？. 在平面内任取一点O，作e1，e2，a，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N. 由向量的线性运算性质可知，存在实数?1、?2，使得?1e1，?2e2. 由于，所以a=?1e1+?2e2，也就是说任一向量a都可以表示成?1e1+?2e2的形式. 1． 平面向量基本定理 （1）定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数?1、?2，使得 a=?1e1+?2e2. 把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. （2）向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则?AOB=?(0????180?)叫做向量a与b的夹角， 当?=0?时，a与b同向；当?=180?时，a与b反向. 如果a与b的夹角是90?，则称a与b垂直，记作a?b. 例1 （课本P94例1）已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2。 解： 变式训练1： 如图在基底e1、e2下分解下列向量： 解：， ， ， 2． 平面向量的正交分解及坐标表示 （1）正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. （2）向量的坐标表示 思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对平面直角坐标系内的每一个向量，如何表示呢？ 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，则对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y使得 a=xi+yj， 把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作 a=(x,y), 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 显然， i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). （3）向量与坐标的关系 思考：与a相等的向量坐标是什么？ 向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？（多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同） 当向量起点被限制在原点时，作=a，这时向量的坐标就是点A的坐标，点A的坐标也就是向量的坐标，二者之间建立的一一对应关系. 例2（课本P96例2） 如图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标. 解：a=2i+3j=(2,3), b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3) d=2i-3j=(2,-3). 变式训练2： 在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向和长度如图所示，分别求他们的坐标. 解：设a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，c=(c1,c2)，则 a1=|a|cos45?=，a2=|a|sin45?=; b1=|b|cos120?=，b2=|b|sin120?; c1=|c|cos(-30?)=，c2=|c|sin(-30?)=, 因此. 例3：已知是坐标原点，点在第一象限，，，求向量的坐标. 解：设点，则 即，所以. 变式训练3：如图，e1、e2为正交基底，分别写出图中向量a、b、c、d的分解式，并分别求出它们的直角坐标. 解：a=2e1+3e2=(2,3)，b=-2e1+3e2=(-2,3)， c=-2e1-3e2=(-2,-3)，d=2e1-3e2=(2,-3). 三、课堂小结，巩固反思： 1． 平面向量基本定理； 2． 平面向量的正交分解； 3． 平面向量的坐标