《20101016《圆》复习.docVIP

2010-10-16 《圆复习重点知识要点梳理1．圆的定义：2．判定一个点P是否在O上.，OP=，则有　　点P在⊙O 外；　　点P在⊙O 上；　　点P在⊙O 内.3．判定几个点在同一个圆上的方法：时，在⊙O 上.4．与圆有关的角5．圆的性质：6．三角形的内心、外心、重心、垂心 注意：三角形的内心、重心都在三角形的内部?.钝角三角形垂心、外心在三角形外部。直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。）锐角三角形垂心、外心在三角形内部。?7．切线的判定、性质：等于圆的半径的直线是圆的切线.　　(2)切线的性质：　　 　①圆的切线垂直于过切点的半径.　　 　②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.　　 　③经过切点作切线的垂线经过圆心.　　(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线 长.　　(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆 心的连线平分两条切线的夹角.8．圆内接四边形和外切四边形9．直线和圆的位置关系：，点O到直线的距离为.　　(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.　　(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.　　(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.10．圆和圆的位置关系：的半径为，圆心距.　　(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部 外离　.　　(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含 　　(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部 外切.　　(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部 内切　.　　(5)和有两个公共点相交.11．两圆的性质：12．圆中有关计算：，周长.　　圆心角为、半径为的弧长.　　圆心角为，半径为，弧长为的扇形的面积.　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.　　圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.13. 圆与正多边形　　顺次连接圆上的n等分点得到的多边形是正n边形.　　(1)一个正多边形的各个顶点都在圆上，这个圆是这个正多边形的外接圆；把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.　　(2)圆内接四边形的对角互补.　　(3)圆内接正n边形都是轴对称图形，有n条对称轴.圆内接正2n边形是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心.　　(4)任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，它们是同心圆.　　(5)常见圆的内接正多边形半径与正多边形边心距的关系：　　　 设正n边形的半径为r，边心距为d.　　　 ①圆内接正三角形中，r=2d或d=r；　　　 ②圆内接正四边形中，r=d或d=r；　　　 ③圆内接正六边形中，d=r. ［例题分析］ ? 例3. 已知：如图3，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长。 析：因为不知道∠A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。 略解：（1）假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形。如图3，由AB＝AC，可知点A是优弧的中点，因为OD⊥BC且AB＝AC，根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连结BO ??? ∵BO＝6，OD＝2 ??? ∴ ??? 在Rt△ADB中，AD＝DO＋AO＝6＋2＝8 ??? ∴ 图3 图3－1 （2）若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，如图3－1添加辅助线及求出，在Rt△ADB中，AD＝AO－DO＝6－2＝4 ∴AB 综上所述AB＝ 小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。 ? ? 例4. 已知：如图4，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CD延长线上一点，AF交⊙O于E。求证：AE·EF＝EC·ED 图4 分析：求证的等积式AE·EF＝EC·ED中，有两条线段EF、ED在△EDF中，另两条线段AE、EC没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线AC，设法证明△FED∽△CEA即可。 证明：连结AC ??? ∵四边形DEAC内接于圆 ??? ∴∠FDE＝∠CAE，∠FED＝∠DCA ???