《三角函数与性质.docVIP

三角函数的图象与性质 一．课标要求： 1．能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像，了解三角函数的周期性借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）结合具体实例，了解y=Asin（wx+）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（wx+）的图像，观察参数A，w，对函数图像变化的影响正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2．三角函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是， 递减区间是， 的递增区间是， 3．函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。 6．对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 四．典例解析 题型1：三角函数的图象 例1．函数y＝－xcosx的部分图象是（ ） 解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，）时，y＝－xcosx＜0。答案为D。 例2．函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是（ ） 解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］为非奇非偶函数。选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数。 点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。 题型2：三角函数图象的变换 例3．试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。 解析：y=sin（2x+） 另法答案： （1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象； （2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象； （3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。 例4．（1）函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？ （答：向上平移1个单位得的图象，再向左平移个单位得的图象，横坐标扩大到原来的2倍得的图象，最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象）； (2) 要得到函数的图象，只需把函数的图象向___平移____个单位（答：左；）； 题型3：三角函数图象的应用 例5．已知电流I与时间t的关系式为。 （１）右图是（ω＞0，） 在一个周期内的图象，根据图中数据求 的解析式； （２）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力． （１）由图可知 A＝300。 设t1＝－，t2＝， 则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝。 ∴ ω＝＝150π。 又当t＝时，I＝0，即sin（150π·＋）＝0， 而， ∴ ＝。 故所求的解析式为。 （２）依题意，周期T≤，即≤，（ω0） ∴ ω≥300π＞942，又ω∈N*， 故最小正整数ω＝943。 点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。 例6．（1