《三角函数图像与性质复习学案.docVIP

《三角函数的图像与性质》复习 【知识梳理】 1．三角函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 对称中心 对称轴 单调性 2.正弦函数y＝sin x 当x＝____________________________________时，取最大值1； 当x＝____________________________________时，取最小值－1. 3．余弦函数y＝cos x 当x＝__________________________时，取最大值1； 当x＝__________________________时，取最小值－1. 【考点巩固训练】 考点1　三角函数的单调性 例1　求函数y＝2sin的单调递减区间． 跟踪练习 (1)求函数y＝sin，x∈[－π，π]的单调递减区间； (2)求函数y＝3tan的周期及单调区间． 考点2　三角函数的值域与最值 例2　求函数y＝3cos x－sin x，x∈[0，]的值域： 跟踪练习 求下列函数的值域： (1)y＝－2sin2x＋2cos x＋2； (2)y＝sin x＋cos x＋sin xcos x. 例3　已知函数f(x)＝2asin(2x－)＋b的定义域为[0，]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值． 跟踪练习 设函数f(x)＝acos x＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g(x)＝bsin(ax＋)的周期． 《三角函数的图像与性质》参考答案 例1　解题导引　求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ (ω0)”视为一个“整体”；②A0 (A0)时，所列不等式的方向与y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)． 解　y＝2sin，设u＝ 则2kπ－≤u≤2kπ＋(k∈Z)，即2kπ－≤≤2kπ＋ (k∈Z)， 得2kπ－≤x≤2kπ＋ (k∈Z)， 即y＝2sin的递减区间为[2kπ－,2kπ＋](k∈Z) 变式迁移　解　(1)由y＝sin，得y＝－sin， 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 又x∈[－π，π]， ∴－π≤x≤－π，－≤x≤π，π≤x≤π. ∴函数y＝sin，x∈[－π，π]的单调递减区间为，，. (2)函数y＝3tan的周期T＝＝4π. 由y＝3tan得y＝－3tan， 由－＋kπ－＋kπ得－π＋4kπxπ＋4kπ，k∈Z， ∴函数y＝3tan的单调递减区间为 (k∈Z)． 例2y＝3cos x－sin x＝2cos(x＋) 所以函数y＝3cos x－sin x，（x∈R）的值域为[－2，2]． 互动探究 ∵x∈[0，]，∴≤x＋≤， ∴－≤cos(x＋)≤ ∴－≤y≤3，故函数值域为[－，3]． 变式迁移 (1)y＝－2sin2x＋2cos x＋2＝2cos2x＋2cos x＝2(cos x＋)2－，cos x∈[－1,1]． 当cos x＝1时，ymax＝4， 当cos x＝－时，ymin＝－，故函数值域为[－，4]． (2)令t＝sin x＋cos x=sin(x＋)，则－≤t≤s，且. in xcos x＝ ∴y＝t＋＝(t＋1)2－1，∴当t＝－1时，ymin＝－1； 当t＝时，ymax＝＋. ∴函数值域为[－1，＋]． 方法总结： 1．对于形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈[a，b]的函数在求值域时，需先确定ωx＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y＝asin ωx＋bcos ωx＋c的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y＝sin(ωx＋φ)＋c的形式，从而求得函数的最值． 2．关于y＝acos2x＋bcos x＋c(或y＝asin2x＋bsin x＋c)型或可以为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题． 例3　解题导引　解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的最值，再由方程的思想解决问题． 解　∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π， ∴－≤sin(2x－)≤1， 若a0，则，解得； 若a0，则，解得. 综上可知，a＝12－6，b＝－23＋12或a＝－12＋6，b＝19－12. 变式迁移　解　∵x∈R，∴cos x∈[－1,1]，