《三角函数图象与性质.docVIP

三角函数图象与性质 [知识能否忆起] 1．周期函数 (1)周期函数的定义： 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R ＋kπ，kZ 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 2kπ(kZ)上递增； 2kπ(kZ)上递减 [2kπ－π，2kπ](kZ)上递增；[2kπ，2kπ＋π](kZ)上递减 kπ(kZ)上递增 最值 x＝＋2kπ(kZ)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(kZ)时，ymin＝－1 x＝2kπ(kZ)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(kZ)时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 (kπ，0)(kZ) (k∈Z) (k∈Z) 对称轴 方程 x＝＋kπ(kZ) x＝kπ(kZ) 周期 2π 2π π [小题能否全取] 1．函数y＝tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 2．(教材习题改编)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　) A．y＝cos 2x　　　　　B．y＝sin 2x C．y＝tan 2x D．y＝sin 3．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是(　　) A.　　　　　　　B. C. D. 4．比较大小，sin________sin. 5．(教材习题改编)y＝2－3cos的最大值为________．此时x＝________. 　1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内．注意区分下列两种形式的函数单调性的不同： (1)y＝sin；(2)y＝sin. 2．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期． 三角函数的定义域与值域 典题导入 [例1]　(1)(2013·湛江调研)函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________． (2)函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为(　　) A．[－1,1]　　　　　　　　　B. C. D. 若本例(2)中x，试求其值域． 由题悟法 1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x、cos x的值域； (2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))； (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))． 以题试法 1．(1)函数y＝＋的定义域为________． (2)(2012·山西考前适应性训练)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　) A. B. C. D. 三角函数的单调性 典题导入 [例2]　(2012·华南师大附中模拟)已知函数y＝sin，求： (1)函数的周期； (2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间． 由题悟法 求三角函数的单调区间时应注意以下几点： (1)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx＋φ看作是一个整体，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(kZ)求得函数的增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(kZ)求得函数的减区间． (2)形如y＝Asin(－ωx＋φ)(A0，ω0)的函数，可先利用诱导公式把x的系数变为正数，得到y＝－Asin(ωx－φ)，由－＋2kπ≤ωx－φ≤＋2kπ(kZ)得到函数的减区间，由＋2kπ≤ωx－φ≤＋2kπ(kZ)得到函数的增区间． (3)对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等，函数的单调区间求法与y＝Asin(ωx＋φ)类似． 以题试法 2．(1)函数y＝|tan x|的增区间为________． (2)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　) A．abc　　　　　　　　B．cab C．b