《三角函数性和e指数形式的傅里叶变换.docVIP

三角级数、傅里叶级数 对于所有在以2pi为周期的函数f(x)，可以用一组如下的三角函数系将其展开：1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，……显然，这组基在[-pi,pi]上是正交的，因此可以在周期区间求积分获得函数f(x)在以三角函数系为基的展开系数，或者说以三角函数系为坐标的投影值a0,an,bn…… 一个一般的函数f(x)可以表示为奇函数和偶函数的叠加，因此它的展开既含有正弦项又含有余弦项，但偶函数的展开仅含有常数项a0和正弦项，相似的，奇函数展开仅含有余弦项。 ? 傅里叶级数的复数形式 根据欧拉公式e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦项可以用复指表示，即cosx=(e^jx+e^-jx)/2，sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。所以，任何一个周期函数f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系1，e^jx，……，e^jnx上表出，在不同的坐标系之间，存在映射关系。但重要的是，由于积分变换的核函数形式发生改变，其物理意义也将有所变化。由于复数的引入，每一个复指数e^jnx相对于三角函数系都变为一个二维量，其物理含义是一条三维螺旋线。其道理非常简单，一个实参a表示数轴上的一点，而一个复数a+bj表示二维坐标上的一点，所以cosx，sinx分别表示 一条二维曲线，而e^jx=cosx+jsinx是一条空间三维曲线。 ? ? 傅里叶变换 周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号可以借助傅里叶变换进行. 对实信号做傅立叶变换时，如果按指数e^jωt为核来求，我们将得到双边频谱。以角频率为Ω的余弦信号为例，它有具有位于±Ω两处的，幅度各为0.5，相角为零的频率特性。实际上，COSΩt就是e^jΩt与e^j-Ωt两条螺旋线的叠加，他们虚部刚好对消，只剩下实部。 Ω1与Ω2两个角速度的螺旋线坐标值的叠加并不等于角速度Ω1+Ω2，因为从角速度到螺旋线的映射不是线性关系。这一现象正体现了频率的正交特性,也是频率分析理论存在的基础. 经过傅立叶变换得到的负频率表示一条反向旋转的螺旋线,而复频率表示一条整体改变90度相位的螺旋线，它们分别与正频率,实频相对应,都表示一个特定的螺旋线，并没有玄妙的含义。 ? 连续频谱 周期信号用傅里叶级数展开所获得频率线状谱的物理意义十分明确,即整个信号由所有谱线存在处频率分量叠加而成.比如信号COSΩt对应Ω与-Ω处两根谱线. ? 困难的问题是对连续谱的理解.以下为标准的傅里叶变换对: 由于存在关系式:e^j-wt=cos-wt+j*sin-wt,再联想一个信号在三角函数系上的展开,可以认为上述傅里叶变换的意义是得到信号x(t)实部的cos-wt系数以及x(t)虚部的sin-wt系数.又由于cos的偶函数性质,sin的奇函数性质以及j*j=-1这一定义,对于某一个特定的w,出现在变换式左边的将是x(t)实部的coswt系数以及x(t)虚部的sinwt系数,两者的加和显然可以用e^jwt的系数表示. ? 假如直接以几何意义来思考,为什么傅里叶变换式两端正负号不一致,也很有趣.回到三角函数展开,在周期[-pi,pi]上,只有coswx与coswx的乘积不为零,这也是正交性.而在三维空间中,一条螺旋线与它自身的乘积再做积分却是零,非要与它每一点的共轭值相乘才不为零.造成这种形式不统一的根源,可以认为一维是一种特例,而二维是较普遍的表达,也可以认为实数的共轭是它本身,而复数共轭虚部相反. ? 连续频谱意义? 现在来看连续谱线的含义,它与概率密度函数一样,只有相对的意义,也就是说,在频谱上高度相同的两点,只表示这两点含对应频率给信号的贡献相同,而无法得出任一频率分量本身的能量.这与概率密度函数是相同的,任何一点的概率取值都是零,但概率密度函数曲线相同高度处代表可能性相同.出现这一问题的根源可能是微积分,或者说是极限带来的困绕,因为物理世界中,时间,能量,都有最小量值,不可再分.那么,我们可以仅仅把微积分看作只是一种数学处理,对微小离散累加的近似.因此连续谱线可以理解成相当多,相当细密离散谱线束的近似,但每一根离散谱线的高度值并非其对信号的贡献,仅仅表示一个相对的意义.依然可以借助概率密度函数的意义来理解,离散分布律对应的概率线,线有多高,随机变量取值就有多大可能性,在连续概率密度函数中,假如化为微小离散的分布律线,将不再是原来的高度,而应该用该值微笑领域内与原连续曲线所围面积来替代其高度,这一理解与从频谱回到信号的傅里叶变反换是吻合的. ? 为了便于理解,我们重新叙述整个问题:1,对于周期信号,由于其由多个三角函数线性叠加而成,而三角函数本身又具有正交性,那么通过如下的运算: 即任何基函数与原信号相乘后做区间积分,就可以得到任意特定基函数在区间平方后曲线所