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三角函数的性质讲义 一、【知识要点】 图象和性质图表解 函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 图象 定义域 R R 值域 最大值为1，最小值为-1 最大值为1，最小值为-1 R 无最大值，最小值 周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在[上都是增函数；在[上都是减函数（kZ） 在[（）上都是增函数；在[]都是减函数 在（上都是增函数 对称性 既是轴对称又是中心对称图形 对称轴 对称中心坐标，以上的 既是轴对称又是中心对称图形 对称轴 对称中心坐标为，以上的 是中心对称图形 对称中心坐标,(kZ) 二、【知识应用】 （一）、求定义域　　例1．求函数的定义域。解:(1) 解不等式组 　∴ 函数定义域是. （二）．利用三角函数的性质比较大小 例1、(2008天津文)设、、，则（ ） A． B． C． D． 解：由，因为，所以， 故选D． 点评：掌握正弦函数与余弦函数在［0，］，［，］的大小的比较，画出它们的图象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：［0,1］，也要掌握。 （三）．复合型三角函数图像的识别 例2、(2008山东文、理)函数 其中的图象是（ ） 解： （）是偶函数，可排除B、D，由的值域可以确定.因此本题应选A. （四）、求值域、最值 1、利用三角函数的有界性求值域 1、形如y=asinx+bcosx+c型引入辅助角公式化为sin(x+φ)+c再求值域. 例1、求函数f(x)=2sinx+cos(x+)的值域 解：f(x)=2sinx+cosx－sinx=（2－）sinx+cosx =，故f(x)∈[] 2、形如y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型通过降幂转化为Asinx+Bcosx再求值域. 例2、f(x)=2asinx·cosx-2asin2x+1（a0）的值域 解：f(x)= asin2x+acos2x-a+1=2asin(2x+)-a+1 ∵a0，sin(2x+)-a+1 ∴f(x)∈[-3a，a+1] 2、用换元法化为二次函数求值域 1、形如y=sin2x+bsinx+c型令sinx=t转化为二次函数再求值域. 例3、k-4，求y=cos2x+k(cosx-1)的值域 解：y=2cos2x-1+kcosx-k y=2cos2x+kcosx-k-1，设t=cosx，t∈[-1,1] 则y=2t2+kt-k-1，对称轴x=－，由于k-4，则－1，故当t=1时， ymin=1，当t=1时，ymax=12k，即y∈[1,1-2k] 2、形如y=asinx·cosx+b（sinx±cosx）+c，换元令sinx±cosx=t 上的值域问题 例4、求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx的值域 解：令sinx+cosx=t，t∈，则sinxcosx=，y=+t=(t+1)2-1 当t=－1时，ymin=－1，当t=时，ymax=+，即y∈[-1，+] 3、考察结构特征，用分离常数法求值域 形如y=型，可用分离常数法转化为y=a+再求值域. 例5、求函数y=的值域. 解：y= ∵-1≤cosx≤1且cosx≠， ∴≤-或≥2，故y∈ 4、反函数思想求值域 形如y=可用反函数思想转化为f(y)sin(x+φ)=g(y)求值域. 例6、求y=的值域. 解：由y=得2ysinx-3y=3cosx-2 2ysinx-3cosx=3y-2，·sin(x+φ)=3y-2sin (x+φ)=， 由|sin(x+φ)| ≤1得||≤1,即y∈ 5、化为一元二次方程用判别式求值域 形如y=也可用判别式求值域 例7、求函数y=的值域 解：==，设t=tan 则y=yt2-2t+3y=0，当y=0时，t=0适合，当y≠0时，由△=4-12y2≥0 ，故y∈[]. 6、根据代数函数的单调性求值域 形如y=asint+，令sint=x，根据函数y=ax+的单调性求值域. 例8、θ∈(0,π)，则函数y=sinθ+的值域为_________. 分析：设x=sinθ，则x∈，即y=x+, x∈,由图象得，当x=1时，ymin=3，故y∈ 例2．求函数的值域. 法一:，　　又∵ －1≤sinx≤1， ∴ -3≤sinx－2≤－1, ∴ 　　∴ 函数的值域为. 法二:由解得，　　∵ －1≤sinx≤1, ∴ 解得，　　∴ 函数的值域为。 2， (全国高考试题)当时，函数的 (　 ) 　　A、最大值是l，最小值是－1 B、最大值是l，最小值是－2　　C、最大值是2，最小值是－2 D、最大值是