《三角函数特殊性质.docVIP

一、三角函数的六边形法则 构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。 (1)倒数关系： 正六边形对角线上对应的三角函数之积为1 (2)平方关系 在阴影三角形中，两个上顶角的平方和等于下顶角的平方。 商数关系： 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上的函数值的乘积。 二、等分象限法 已知为某象限的角，如何确定所在的象限及其取值范围呢？ 一、所在象限的确定 一般地，要确定所在的象限，可以做出各个象限的从原点出发的等分射线，它们与坐标轴把周角分成个区域。从轴的非负半轴起，按逆时针方向把这个区域依次循环标上。标号为几的区域，就是根据所在第几象限时的终边所落在的区域。 例：若为第二象限角，试用几何作图法确定所在的象限。 【解析】根据分母值，将每个象限二等分，然后标号，最后根据为第二象限角确定的终边所落的区域，从而看出所在的象限。 ①利用几何作图法，二等分各个象限并标号，如下图： ②因为为第二象限角，所以上图标号为区域就是的终边所落在的区域。上图中有两个区域标号为，分别在第一象限与第三象限，所以所在的象限为一、三象限。 二、取值范围的确定 在确定的取值范围之前，我们要先明确下面两类终边相同角的集合的表示方法： ①终边落在射线上的角的集合表示方法：； ②终边落在直线上的角的集合表示方法：。 注意：终边在射线上对应的是的整数倍；终边在直线上对应的是的整数倍。 例：若为第二象限角，试确定的取值范围。 【解析】确定的终边落在标号为的区域内，因此的取值范围就在标号为的区域范围，如图所示。 因为一、三象限的等分线与正半轴夹角为，正半轴对应的角为，并且这两个角的终边都落在直线上。与终边相同的角的终边都落在直线上，与终边相同的角的终边都落在直线（轴）上。所以的取值范围是。 巩固练习：若为第四象限角，试确定所在的象限及其取值范围。 三、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 1. 同角三角函数的基本关系式 ，=. 2. 正弦、余弦的诱导公式 （奇变偶不变，符号看象限。） 3. 和角与差角公式 ; ; . 4. 二倍角公式 . . . 公式变形： 5. 三角函数的周期 ，； ，； ，. 辅助角公式（化一公式） 其中 7. 正弦定理? . 8. 余弦定理 ;;. 9. 三角形面积公式 . 10. 三角形内角和定理 在△ABC中，有 11. 与的数量积(或内积) 12. 平面向量的坐标运算 （1）设A，B,则. （2）设=,=，则=. （3）设=,=，则=. （4）设=,=，则=. (5)设=，则 13. 两向量的夹角公式 设=,=，且，则 14. 向量的平行与垂直 . . 四、口诀“奇变偶不变，符号看象限” sin(90°-α)= cosα???????? sin(90°+α)= cosα cos(90°-α)= sinα???????? cos(90°+α)= - sinα sin(270°-α)= - cosα????? sin(270°+α)= - cosα cos(270°-α)= - sinα????? cos(270°+α)= sinα sin(180°-α)= sinα??????? sin(180°+α)= - sinα cos(180°-α)= - cosα????? cos(180°+α)= - cosα sin(360°-α)= - sinα????? sin(360°+α)= sinα cos(360°-α)= cosα??????? cos(360°+α)= cosα 这些公式左边为90°的1,2,3,4倍再加（或减）α的和（或差）的正弦,余弦。 （1）公式右边有时是α的正弦，有时是α的余弦。有时一致有时相反,其中的规律为“奇变偶不变” 例如: cos(270°-α)= - sinα中, 270°是90°的3(奇数)倍所以cos变为sin,即奇变 又如，sin(180°+α)= - sinα中, 180°是90°的2(偶数)倍所以sin还是sin,即偶不变 （2）公式右边有时是正，有时是负.其中的规律为“符号看象限” 例如: cos(270°-α)= - sinα中, 视α为锐角,270°-α是第三象限角,第三象限角的余弦为负,所以等式右边有负号. 又如，sin(180°+α)= - sin