《三角函数的图像与性质教案.docVIP

三角函数的图象与性质 　 教学目标 1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． 2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 3．理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化． 重点难点 重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题． 难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度． 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 1．三角函数的定义域 这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在y轴上的角． 函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角． (2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 例1　 求下列函数的定义域： π](k∈Z)． 形使函数定义域扩大． 的某些区间与-3≤x≤3的交集不空，这些区间可以通过k取特殊值得到．注意不要遗漏． (3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果)． 是　　　　　　　　 [　　　 ] 所以选C． 2．三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是|cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域． 常用的一些函数的值域要熟记． ③y=tanx+cotx∈(-∞，-2]∪[2，+∞)． 例4　 求下列函数的值域： (2)y=3cos2x+4sinx ①x∈R； ④x是三有形的一个内角． (3)y=cosx(sinx+cosx)； (5)y=sin(20°-x)+cos(50°+x)． 若把上式中的sinx换成cosx，解法、答案均与上面相同． sinx=0时，ymax=3，所以y∈[-4，3]； (5)解法一　 将cos(50°+x)变为sin(40°-x)，和差化积得 y=2sin(30°-x)·cos10°∈[-2cos10°，2cos10°]． 解法二　 用正弦、余弦的两角和与差的公式展开，得 y=(sin20°cosx-cos20°sinx)+(cos50°cosx-sin50°sinx) =(sin20°+cos50°)cosx-(cos20°+sin50°)sinx =(sin20°+sin40°)cosx-(sin70°+sin50°)sinx =2sin30°·cos10°·cosx-2sin60°·cos10°·sinx =2cos10°·sin(30°-x)∈[-2cos10°，2cos10°]． 评述　 以上是求三角函数值域的几种基本情况，它们的共同点在于，经过三角变换，都要转化为四种基本三角函数的值域． 求tanβ的最大值． 解　 α为锐角，tanα＞0，所以 3．三角函数的周期性 (1)对周期函数的定义，要抓住两个要点： ①周期性是函数的整体性质，因此f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个x成立时，非零常数T才是f(x)的周期． ②周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值． 因为sin(2kπ+x)=sinx对定义域中任一个x成立，所以2kπ(k∈Z，k≠0)是y=sinx的周期，最小正周期是2π． 同理2kπ(k∈Z，k≠0)是y=cosx的周期，最小正周期是2π． 因为tan(kπ+x)=tanx对定义域中任一个x成立，所以kπ(k∈Z，k≠0)是y=tanx的周期，最小正周期是π． 同理kπ(k∈Z，k≠0)是y=cotx的周期，最小正周期是π． (3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用 ①函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个递增或递减区间，这些递增区间互不连接，递减区间也互不连接． ②函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化． ③因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的图象即可． 例6　 求下列函数的周期： 上式对定义域中任一个x成立，所以T=π； 4．三角函数的奇偶性，单