《三角函数的图象与性质复习教案.docVIP

三角函数的图象与性质 1．用“五点法”作正弦、余弦函数的图象． “五点法”作图实质上是选取函数的一个 ，将其四等分，分别找到图象的 点， 点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状． 2．y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象． 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 注：⑴ 正弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑵ 余弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑶ 正切函数的对称中心为 ． 3．“五点法”作y＝Asin(ωx＋)(ω0)的图象．[来源:学科网ZXXK] 令x＝ωx＋转化为y＝sinx，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象． ４．函数y＝Asin (ωx＋)的图象与函数y＝sinx的图象关系． 振幅变换：y＝Asinx(A0，A≠1)的图象，可以看做是y＝sinx的图象上所有点的纵坐标都 ，(A1)或 (0A1)到原来的 倍（横坐标不变）而得到的． 周期变换：y＝sinωx(ω0，ω≠1)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点的横坐标 (ω1)或 (0ω1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的．由于y＝sinx周期为2π，故y＝sinωx(ω0)的周期为 ． 相位变换：y＝sin(x＋)(≠0)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点向 (0)或向 (0)平移 个单位而得到的． 由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋)的图象主要有下列两种方法： 或 说明：前一种方法第一步相位变换是向左(0)或向右(0)平移 个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(0)或向右(0)平移 个单位． 例1.已知函数y＝Asin(ωx＋)(A0，ω0) ⑴若A＝3，ω＝，＝－，作出函数在一个周期内的简图． ⑵ 若函数y的振动频率是，当x＝时，相位是，求ω和． 解：(1) y＝3sin()列表(略)图象如下： 0 π 2π x [来源] y 0 3 0 －3 0 (2)依题意有： ∴ 变式训练1：已知函数y=2sin, (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到. 解 （1）y=2sin的振幅A=2,周期T==，初相=. （2）令X=2x+,则y=2sin=2sinX. 列表，并描点画出图象： x - X 0 2 y=sinX 0 1 0 -1 0 y=2sin(2x+) 0 2 0 -2 0 （3）方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y=sin的图象，再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin的图象，最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin的图象. 方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象； 再将y=sin2x的图象向左平移个单位； 得到y=sin2=sin的图象；再将y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin的图象. 例2已知函数y=3sin （1）用五点法作出函数的图象； （2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相； （4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表： x [来源:Zxxk.Com] 0 2 3sin 0 3 0 -3 0 描点、连线,如图所示： （2）方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin的图象；再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到 y=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象. 方法二 “先伸缩，后平移” 先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sinx的图象；再把y=sinx图象上所有的点向右平移个单位， 得到y=sin(x-)=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象. （3）周期T===4，振幅A