《三角函数的图象与性质教案.docVIP

1.3三角函数的图象和性质 1.3.1三角函数的周期性 [教学目标] 一、知识与技能 了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。 二、过程与方法 从自然界中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念，再运用数学方法研究三角函数的性质，最后运用三角函数的性质去解决问题。 三、情感、态度与价值观 培养数学来源与生活的思维方式，体会从感性到理性的思维过程，理解未知转化为已知的数学方法。 [教学重点] 周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。 [教学难点] 周期函数的概念 [设计思路] 创设情境，从自然界中的周期现象出发，通过对P点的圆周运动这一模型的分析，引入周期函数的概念。 在研究P点的圆周运动时，给出了y=f(t)的图象；并在研究了三角函数的周期后，给出了y=sinx的图象，让学生从图象上对函数的周期加深理解，让学生体会数形结合的思想。 在讲解例2时，充分利用解方程的思想，让学生更易理解。 [教学过程] 一、创设情境 每年都有春、夏、秋、冬，每星期都是从星期一到星期日，地球每天都绕着太阳自转，公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返……，这一些都给我们循环、重复的感觉，可以用“周而复始”来描述，这就叫周期现象。 二、学生活动 （P点的圆周运动）如图，点P自点A起，绕圆周按逆时针方向进行匀速运动。点P的运动轨迹是： A-B-C-D-A-B-C-D- A-B-C-D-A-B …… 显然点P的运动是周期运动。 设圆的半径为2，每4分钟运动一周。设P到A的距离为y，运动时间为t，则y是t的函数，记为 y=f(t). 则f(0)=f(4)=f(8)=f(12)= ……=0，（位置在A点） f(2)=f(6)=f(10)=f(14)= ……=4，（位置在C点） 一般地，点P运行t分钟到达的位置与运行(t+4)分钟到达的位置相同，由此能得到这样的数学表达式：f(t+4)=f(t) 想一想：f(t+8)、f(t+12)与f(t)有什么关系？说明它们的实际意义。 [f(t+8)=f(t)、f(t+12)=f(t)，运行时间不等，但最终位置相同] 可以用描点法画出这个函数的图象（如图） 它的特征是：在区间(0,4)(4,8)(8,12) …内重复。 我们将上面的函数y=f(t)称为周期函数。 三、建构数学 一般地，对于函数f（x），对定义域内的每一个x的值，每增加或减少一个不为零的定值T，函数值就重复出现，这个函数就叫做周期函数，即f(x+T)= f(x)。 （一）、周期函数及周期的定义 周期函数定义如下：一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)= f(x)，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 前面函数y=f(t)的周期可以认为是4、8、12、…… （二）、最小正周期的概念. 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期. 注意 今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期. 显然上面的函数y=f(t)的周期T=4. (三)、三角函数的周期 思考：正弦函数y=sinx是周期函数吗？即能否找到非零常数T，使sin(T+x)= sinx成立？ [sin(2π+x)=sinx，sin(4π+x)=sinx，根据周期函数定义判断它是周期函数，又根据周期的规定，它的周期T=2π（最小正值）] 用几何画板展示周期函数y=sinx的图象，使学生感知其特征。 讨论：余弦函数y=cosx和正切函数y=tanx也是周期函数，并找出它们的周期。 [周期分别是2π、π] 四、数学运用 例1若钟摆的高度h（mm）与时间t(s)之间的函数关系如图所示。 求该函数的周期； 求t=10s时钟摆的高度。 分析：周期可由两顶点间距离确定，此函数周期T=1.5； 根据函数的周期性，f(10)=f(10－1.5)=f(10－2·1.5)= ……=f(10－1.5k)(其中k为整数)，直到10－1.5k=1或2.5为止，即f(10)=f(1)=20. 解：(略) 例2 求函数f(x)=cos3x的周期。 解：设周期为T. f(x)=cos3x=cos(3x+2π)，f(x+T)=cos3(x+T) 由f(x)= f(x+T)得，3x+2π=3(x+T)，解得T=2π/3. ∴函数f(x)=cos3x的周期2π/3. 注意：①运用了换元方法，u=3x；②f(u)=cosu的(最小正)周期是2π；即cosu=cos(u+2π)；③由于cos(3x+2π) =cos3(x+T)对任一x的值都成立，所以3x+2π=3(x+T)；④f