《2011年中考数学与圆有关的角.docVIP

与圆有关的角 知识考点： 1、掌握与圆有关的角，如圆心角、圆周角、弦切角等概念； 2、掌握圆心角的度数等于它所对弧的度数； 3、掌握圆周角定理及其推论； 4、掌握弦切角定理及其推论； 5、掌握各角之间的转化及其综合运用。 精典例题： 【例1】如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝1000，点P在△ABC的外部，并且PC＝BC，求∠APB的度数。 分析：注意条件AC＝BC＝PC，联想到圆的定义，画出以点C为圆心，AC为半径的圆，问题则得以解决。 解：∵AC＝BC，PC＝BC ∴A、B、P三点在以C为圆心，AC为半径的圆上 若P、C在AB的同侧，则∠APB＝∠ACB ∵∠ACB＝1000，∴∠APB＝500 若P、C在AB的异侧，则∠APB＝1800－50＝1300 【例2】如图，在△ABC中，∠B＝900，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC切于点D，直线ED交BC的延长线于F，若AD∶AE＝2∶1，求cot∠F的值。 分析：由AD∶AE＝2∶1和△ADE∽△ABD有DE∶DB＝1∶2，而∠F＝∠EBD，则cot∠F＝cot∠EBD＝，故结论得证。 解：连结BD ∵AC为⊙O的切线，∴∠1＝∠2 ∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABD ∴，即 ∴ ∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE＝900 ∴∠2＋∠BEF＝900，∵∠F＋∠BEF＝900，∴∠2＝∠F ∴cot∠F＝cot∠2＝＝2 【例3】如图，由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F、G，连结AF并延长交△BGF的外接圆于H，连结GH、BH。 （1）求证：△DFA∽△HBG； （2）过A点引圆的切线AE，E为切点，AE＝，CF∶FB＝1∶2，求AB的长； （3）在（2）的条件下，又知AD＝6，求tan∠HBG的值。 分析：（1）证∠DAF＝∠AFB＝∠BGH，∠DFA＝∠HFG＝∠HBG即可； （2）由DC∥AG，得CF∶FB＝CD∶BG＝1∶2，则AB∶AG＝1∶3，由切割线定理得AB＝3； （3）由（2）知AB＝3，AG＝9，过A作AQ⊥DG于Q。由得。所以DF＝DG＝。由得，所以。故tan∠HBG＝tan∠HFG＝tan∠QFA＝＝18。 探索与创新： 【问题一】如图，已知，半圆的直径AB＝6cm，CD是半圆上长为2cm的弦，问：当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是定值吗？若是，试求出这个定角的正弦值；若不是，请说明理由。 分析：本题有一定难度，连结BC（或AD）可构成直角三角形，这是遇直径常用的辅助线。 解；连结BC ∵CD为定长，虽CD滑动，但的度数不变，∴∠PBC为定值 ∴∠P＝∠ACP－∠PBC＝900－∠PBC为定值 ∵∠PCD＝∠PBA，∴△PCD∽△PBA ∴ 在Rt△PBC中，cos∠P＝，∴sin∠P＝ 评注：本题是在变中寻不变，有一定的难度，但考虑到常用的辅助线――直径，问题便迎刃而解了。 变式：如图，BC与AD交于E，其它条件与上题一致，问∠P与∠DEB的大小关系？ 分析：∵AB为直径，则∠PCB＝∠ADB＝900，而cos∠P＝，又∵△CED∽△AEB，∴＝cos∠DEB。∴cos∠P＝cos∠DEB，故∠P与∠DEB的大小相等。 【问题二】如图，AB是⊙O的直径，弦（非直径）CD⊥AB，P是⊙O上不同于C、D的任一点。 （1）当点P在劣弧CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何？请证明你的结论； （2）当点P在优弧CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何？并证明你的结论（不讨论P与A重合的情形）。 分析：（1）P在劣弧CD上运动时，∠APC＝∠APD，利用垂径定理及圆周角定理易证；（2）P在优弧CD上运动时，∠APC＋∠APD＝1800，∠APC所对的弧是，∠APD所对的弧是，而，的度数和等于的度数和，等于3600，由圆周角定理易证明得到结论。 跟踪训练： 一、选择题： 1、下列命题中，正确的命题个数是（ ） ①顶点在圆周上的角是圆周角； ②圆周角度数等于圆心角度数的一半； ③900的圆周角所对的弦是直径； ④圆周角相等，则它们所对的弧也相等。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、已知AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝500，点P是⊙O上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（ ） A、650 B、1150 C、650或1150 D、1300或500 3、O为锐角△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则OD