《2014.12初三《圆》章节知识点.docVIP

一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 有关概念： 圆定点的距离等于定长的点的集合 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合到圆心的距离小于半径的点的集合叫做圆的内部到圆心的距离大于半径的点的集合叫做圆的外部 顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 。定理不在同一直线上的三点确定一个圆。垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 垂径定理推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧在同圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等垂径定理推论是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙中，∵∥ ∴弧弧 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；其特有旋转不变性。 1、圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理——在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等；②；③；④ 弧弧 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 和是弧所对的圆心角和圆周角 ∴ 3、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角 ∴ 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙中，∵是直径 或∵ ∴ ∴是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△中，∵ ∴△是直角三角形或 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 4、圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边形是内接四边形 ∴ 三、圆的相关位置关系 （1）点与圆的位置关系 1、点在圆内 点在圆内； 2、点在圆上 点在圆上； 3、点在圆外 点在圆外； （2）直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 直线和圆位置关系的判定： ①依据定义 ②依据圆心到直线距离d与圆的半径r的数量关系 圆的切线的判定： 定义②依据d=r ③用判定定理——圆的切线证明的两种情况：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径。 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴ 平分 相关概念及性质：三角形的内切圆 圆的外切三角形 三角形的内心 三角形的内心的性质：三角形的内心到三角形各边距离相等 圆的外切四边形两组对边和相等 弦切角定理： 弦切角等于它