《与柱体锥体台体球有关的性质.docxVIP

10.9与柱体、锥体、台体、球有关的性质【知识网络】 1、柱体、锥体、台体、球的有关性质；2、展开图及内接、外接问题； 3、不规则的图形的有关计算。【典型例题】例1：（1）一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A、底面是正方形，有两个侧面是矩形B、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱答案：D。解析：正四棱柱的条件是底面为正方形的直棱柱。（2）底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是（）A、一定是正三棱锥 B、一定是正四面体 C、不是斜三棱锥 D、可能是斜三棱锥答案：D。解析：只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道（3）在棱长为1的正方体ABCD——A1B1C1D1中，若G、E分别为BB1，C1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心，则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为________。答案：。解析：考察在三组对面上的投影即可。（4）棱锥的高为16cm,底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为答案：11cm。解析：。（5）把半径为r的四只小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为__________。答案：()r?。解析：四只小球的球心组成正四面体形状，∴，即。例2：已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为, 试求第三条侧棱长的取值范围．答案：: 如图, 四面体ABCD中,AB=BC=CA=1, DA=DC=, 只有棱DB的长x是可变的．在三角形ACD中, M为AC的中点, MD=． MB=．由MF-MBBDMD+MB, (MF=MD) 得: 例3：如图在三棱锥A—BCD中,平面ABC和平面BCD都是边长为的等边三角形,且,若从AB的中点M沿着三棱锥表面到达CD的中点N,求最短路线.解析: 有四种侧面展开形式:(1)以等边为主,剪开AB、BC、CD、AD,得正和等腰构成的平面图.此时相对短的路线是线段MN.延长DC,与过M且与AC平行的直线相交于点P,PM与BC相交于Q点.∵M为AB的中点,∴Q为BC的中点,.在中,.在中,.在中,.于是.(2)以侧面ABD为主,沿BD把两个面ABD和BDC展成一个平面图形.与(1)类似可以推得.(3)以侧面ABC为主,沿BC把两个面ABC和BDC展成一个平面图形,构成菱形ABDC,MN∥BD,MN=BD,. ∵,∴.(4)以侧面ACD为主,沿AD把两个等腰直角三角形ACD和ABD展成一个平面图形,构成正方形ABDC,此时.总之,从M到N的最短路线为.例4：如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a．（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；（Ⅲ）判断A1B与平面ADC的位置关系，并证明你的结论．答案：（Ⅰ）证法一：∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC，又A1A⊥底面ABC，∴A1D⊥BC ，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1．证法二：连结A1C1，则A1C=A1B．∵点D是正△A1CB的底边中BC的中点，∴A1D⊥BC ，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1．（Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E，∵平面ACC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的距离．在Rt△ADC中，AC=2CD=∴所求的距离解法二：设点D到平面ACC1的距离为，∵体积即点D到平面ACC1的距离为．（Ⅲ）答：直线A1B//平面ADC1，证明如下：证法一：连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，∵D是BC的中点，∴DF∥A1B，又DF平面ADC1，A1B平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．证法二：取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1，C1D∥D1B，∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B，∴平面ADC1∥平面A1D1B，∵A1B平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1．【课内练习】1．关于“斜二测”直观图的画法，如下说法正确的是（） A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 B．梯形的直观图可能不是梯形 C．正方形的直观图为平行四边形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形答案：C。解析：根据斜二测的定义进行判断。2．空间四边形中，互相垂直的边最多有（） A、1对 B、2对 C、3对 D、4对答案：D。解析：以长方体一个角为例。3．一个圆锥的底面圆半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．答案：C。解析：。4．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H.若AE=3，BF=4，