《AE式递推通项.docVIP

A-E式递推通项 A1=x0 A（n+1）=（x1An+x2）/（x3An+x4） ————A式 我给出的证明Α式方法是如下的： 题目：{A1=x0 A（n+1）=（x1An+x2）/（x3An+x4） ‘以下仅讨论重根情况，并只给出证明。 构造特征方程y1=（x1y1+x2）/（x3y1+x4） ‘×号部分省略 特征解为（二重根） y1 满足重根的条件为△=0 ，y1=-b/2a 方程化为x3*y1^2+(x4-x1)y1-x2=0 ‘幂指数具有优先级 △=（x4-x1）^2+4x2x3=0 →（x4-x1）^2=-4x2x3 y1=- (x4-x1)/(2x3) →x4-x1=-2x3y1 ……① -x2=x3*y1^2 ……② ‘把①代入△ 左右同消x3 现在完成了引理证明，构造函数Bn=1/（An-y1） ‘为何要构造这样的函数？ 现在来证明Bn为等差数列，运用等差数列的定义进行证明。 B（n+1）-Bn=1/（A（n+1）-y1）-1/（An-y1） =1/[（x1An+x2）/（x3An+x4-y1）]- 1/（An-y1）‘减号优先级低 =（x3An+x4）/[（x1-x3y1）An+（x2-x4y1）]- - 1/（An-y1） 下面我们采用分步分式法去证明等式。 先看分母： 分母=[（x1-x3y1）An+（x2-x4y1）]*（An-y1） ‘分母通分 =（x1-x3y1）*An^2+(x2-x4y1-x1y1+x3*y1^2)An+(x1y1-x3*y1^2)*y1 =(x1-x3y1)*[An^2-2y1An+y1^2] ‘等待同消的竟然是平方项? 完成了对分母的化简，对于分子，我们希望能够出现[An^2-2y1An+y1^2]将之消去。现在看分子： 分子=（x3An+x4）（An-y1）-[（x1-x3y1）An+（x2-x4y1）] ‘分子通分结果 =x3*An^2-x3y1An+x4An-x4y1-[（x1-x3y1）An+（x2-x4y1）] =x3*An^2+(x4-x3y1-x1+x3y1)An+x4y1-x4y1-x2 =x3*An^2+(x4-x1)An-x2 ‘很顺利，但是化不下去了。 此处利用公式①② 代掉一次项系数和常数项，有 =x3*An^2-2x3y1An+x3*y1^2 =x3*[An^2-2y1An+y1^2] 至此分子/分母=常数。其意义在于完成了bn为等差数列的证明。利用等差数列进而可以解决An 通项公式的推导。以下完成尾声工作。 分子/分母=x3/（x1-x3y1） =1/（x1/x3-y1） ‘不得不说形式很优美，x1/x3 内涵了~ 即B（n+1）-Bn=1/（x1/x3-y1） 公差为这坨东西，还得知道个首项才能凑 ……③ 齐基本元，拥有…… Bn=1/（An-y1）→B1= 1/（A1-y1） ……④ ‘ok 联立③④得Bn=1/（A1-y1）+[1/（x1/x3-y1）]*（n-1） 完成了Bn的通项公式，只要再弄出Bn与An的联系就行了。由Bn=1/（An-y1）可知An=（1/Bn）+y1 这样就算是完成了。最后给出解题的步骤，解题时肯定不需要这么多的证明，运用一下结论就基本ok了。（括号中，单引号后均可以省略） ————对于另外一种不重根的情况，已经叫zc帮我去想了，由于没有时间，所以也不来叙述了。以后有空再说吧。 题目: 已知 A1=x0 A（n+1）=（x1An+x2）/（x3An+x4） ‘对于那些x1-x2/（x3An+x4） 形式的建议先转化为一般形式， 构造特征方程（太专业了） y1=（x1y1+x2）/（x3y1+x4） →y1 构造Bn=1/（An-y1） ‘至此就应该没问题了，但为了省事，再来几个术语 代入原式得 B(n+1)-Bn=…… =…… （以下略去代入的过程，做一下样子。） =1/（x1/x3-y1） ’貌似有点虚伪 又由于B1=1/（An-y1） 所以Bn=B1+[1/（x1/x3-y1）]*（n-1） 由Bn=1/（An-y1）得An=（1/Bn）+y1 说了这么多其实就说了为什么构造Bn=1/（An-y1）可行。没多少花头，却给了我们（我）一种方式去解决中的问题，特征方程貌似对很多的数列都有联系，所以我试图去看用一般的方式去解决常见的问题。作业中很少会出现不给出Bn的求An法，但是针对下一个问题，却是很常见的。而且网上也没有出现过