《ch5大数定律与中心极限定理.docVIP

第5章　大数定律与中心极限定理 大数定律、中心极限定理主要讨论随机变量序列的极限稳定性和极限分布，内容很丰富．本章介绍几个最简单的结果．这些结果在数理统计中常用到． 5.1切比雪夫不等式 切比雪夫(Chebyshev)不等式： 设随机变量X的数学期望与方差 都存在， 则 ，有 ，或　． 证：只对连续随机变量简证之． o 　 x 设X的概率密度为，则 ； ． 此不等式将被用于大数定律和中心极限定理的论证中． 例1．一家饮料厂生产某种规格的饮料，使用机器包装，额定标准为每瓶净含量550．凡净含量在543～557 之间被认为包装合格．以往的统计结果表明，净含量的标准差为2．试估计此种饮料包装的合格率． 解：用X表示每瓶饮料的净含量．X的分布情况未明，利用切比雪夫不等式作估计． 可以认为 ，． 于是，包装的合格率 ． 一般地．对于随机变量X，记 ，． 由切比雪夫不等式知： ， ． 取 时， 有 ； 取 时， 有 ． 5.2 大 数 定 律 大数定律研究 依概率收敛：设 是一个随机变量序列，简记为，a为实常数．若 ， 有 ， 则称 依概率P收敛于a， 记作． ． (．．． ．． ．．) ．　　　　 0 1 Xn a Xn Xn x 依概率收敛的意义是，，当 n充分大时，几乎可以肯定 取值于区间 ． 定理一 (切比雪夫大数定律) 设随机变量序列 相互独立，即任意有限多个随机变量 相互独立，存在期望与方差，且方差有界C：． 记 ， 则 ， 有 ． 证： ， ． 利用切比雪夫不等式得 ，． 从而 ． 俄国数学家切比雪夫于1866年证明了此定理，它是大数定律中相当普遍的结论． 推论　设 相互独立，服从同一分布，简称为独立同分布．存在期望与方差：，，． 则 ， ． 含义：在进行精密测量时，为了减少随机误差，通常要重复测量多次，测得实测值 ，然后取平均值 来替代真值．当 n很大时，的值接近于测量真值的概率愈来愈大．它描述了测量时大量测量值的算术平均值的稳定性． 定理二 (伯努利大数定律) 设在n重伯努利试验中事件 A发生了次，记 为事件 A发生的频率，概率 ， 则 ，， 即 ，有 ． 证：令 ． 则 ， 且相互独立，服从同一个分布．，，． 由推论得 ，． 定理二的意义在于，随着试验次数 n的增加，随机事件A发生的频率必然会稳定于概率，从而以严格的数学形式描述了频率的稳定性．在实际应用中，当试验次数很多时，就可用频率来估计概率． 定理三 (辛钦大数定律) 设随机变量序列独立同分布，存在数学期望 ，． 则 ． (在独立同分布的条件下，只要期望存在，而方差可以不存在，与定理一有区别．) 例1.　设独立同分布，，． 试问 依概率收敛于什么值？ 解：满足定理三的条件，． 故 ，， 即 ， 有 ． 5.3 中心极限定理 　　中心极限定理讨论相互独立的随机变量序列的极限分布，即依分布收敛．下面定理表明，一个随机变量是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成，其中每一个因素在总的影响中所起的作用都很微小，且相对均匀，则它近似地服从正态分布．这种现象就是中心极限定理的客观背景． 定义．设随机变量序列相互独立，存在期望与方差：，， ． 记和 ， 为的标准化随机变量，的分布函数 ． 若 ， 有， 则称 服从中心极限定理． 定理四 (独立同分布的中心极限定理) 设随机变量序列 独立同分布，存在期望与方差：，， ． 令 ， 分布函数 ．则 ， 成立 ． 定理四表明，对于标准化随机变量 ，当 n充分大时，渐近地有 （近似地服从）， 或 ． (利用特征函数法即的Fourier变换可证明定理)． 得到近似计算公式： ， 这里 ． 定理五 (棣莫弗－拉普拉斯(De Moivre－Laplace)中心极限定理) 设随机变量序列，， 常数 ． 记 ， 则成立 ， ． 0 1 p 证：这是定理四的特殊情况．， 独立同分布，，，， ． 由定理四得 ，　． 　定理五表明，若 ，则当 n充分大(一般要求)时有近似计算公式： ， (*) 这里． 关于式(*)的说明：因为二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，经验表明，对于正整数，若采用连续性修正公式 进行近似计算，可提高精度． 例1.一家电子管厂生产36W规格的日光灯管， 由于生产过程中随机因素的影响， 每支灯管的功率在区间[34W, 38W