《E1.启发学生乐于逻辑地学发现.docVIP

数学教学中创新意识的培养 ----从成语故事引入的一堂数学发现课 无锡市M·M课题组 顾曼生(崇安职校 214005) 全日制普通高级中学数学教学大纲(试验修订版)明确指出:“高中数学的教学目的是:使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识和概率统计、微积分的初步知识，并形成基本技能；进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力，以及创新意识；进一步培养良好的个性品质和辨证唯物主义观点。”[1] 由此可见在数学教学中培养学生的创新意识是高中数学的教学目的之一。 什么是创新意识？教学大纲作了进一步的阐明：“创新意识主要是指：对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，不断追求新知，独立思考，会从数学角度发现和提出问题，进行探索和研究。” 然而，正如徐利治教授在《数学方法论与数学教学改革》一文中指出的那样：“如果要培养具有数学想象力和创造力的青年一代，要使他们不仅能够灵活地运用数学工具，而且还可能日后在科技上有所创新和发明，那么在教材教法中只注重传播演泽性数学知识，过分强调逻辑演泽推理的训练，将是不利于达到上述目的。”[2] 为此，徐利治教授多次指出，在数学教学中应该适当加进观察、分析、联想、归纳、类比等方面的有趣题材，表现数学发现的演化和过程。 这样做, 可以使学生学到活生生的创造方法，创新能力必然会得到发展, 就有利于解决他们将来遇到的新问题。如果我们真正这样去做，就会体会到莱布尼兹的名言：“没有什么比看到发明的源泉（过程）更重要了”，以及高斯名言：“发现比论证更重要”的意义。 为了在数学教学中培养学生的创新意识，根据教学大纲的精神，结合贯彻数学方法论的教育方式，我们作了实验和研究，取得了一定的成果。下面以二项式定理的教学为例，作一简单介绍。 首先，我们按照波利亚《数学的发现》第三章介绍的“符咒”。[3] 引导学生寻求成语故事“歧路亡羊”的数学含义（引起学生好奇）。与学生一起把“歧路亡羊”简单化地抽象成一个数学模型（启发学生从数学角度发现和提出问题）。 假定迷途的 羊 羊所到歧点处都只有两条歧路，相邻两条歧路又并为一条（如图） 而 且假定羊不向后退，于是羊走到歧点处只有向左或向右两种走法，然 后与学生共同分析迷途的羊走到各歧点走法的种数. 在第一次分歧时，只有两种走法：向左或向右. 在第二次分歧时 有左左，左右，右左，右右四种走法，其中先左后右与先右后左所到 地点是一样的，即到某一地点与左右先后次序无关，仅与次数有关， (使学生联想到组合），于是可以把所到地分成三类： 第一类 没有向右，有一种走法 第二类 一次向右，有二种走法 共有四种走法 第三类 二次向右，有一种走法 在类似地分析了第三次甚至第四次分歧点的走法，逐次得出上图前几项数字后，引导学生由特殊到一般地猜想第n次分歧的走法有多少类？各有多少种走法？共有多少种走法？此时学生正沉浸在观察、分析、归纳、独立思考、进行探索的兴趣之中，（必要时启发学生联想曾讲过的一个例题，教室里有6盏灯，开灯照明共有几种不同方法？此例题也引导学生推广到一般情形，并用两种方法推导出:[4] ) 学生终于可以自己发现：第n次分歧有n+1类： 第一类 没有向右，有种走法 第二类 一次向右，有种走法 第三类 二次向右，有种走法 共有2n种走法。 …………………… 第n+1类 n次向右，有种走法 (进一步追问，r次向右是第几类？有多少种走法？为得出通项公式作好伏笔.） 这样一来，学生自己发现了杨辉三角的第n项数字，此时向学生简要介绍杨辉三角。 其次，按照数学抽象的习惯，用a代替向左，用b代替向右，使向左或向右对应于a+b，二次分歧对应于(a+b)(a+b)=(a+b)2（据加法原理与乘法原理说明加与乘的含义）如此等等，于是n次分歧即 (左或右)·(左或右)……(左或右)(a+b)(a+b)……(a+b)=(a+b)n n个括号 n个括号 在学生回顾(a+b)2、(a+b)3的展开式,并指明3a2b表示两次向左、一次向右共有三条路线之后，再让学生用类比的方法去猜想(a+b)n的展开式，体验发现的欢乐，并用类比的手法启发学生给出二项式定理的组合法证明(a+b)n有n+1类: 第一类 都不取b，有种走法 第二类 一次取b，有种走法 第三类 二次取b，有种走法