《中学数学竞赛讲义——几个初等函数的性质.docVIP

中学数学竞赛讲义——几个初等函数的性质 一、基础知识 1．指数函数及其性质：形如y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0a1时，y=ax是减函数，当a1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。 2．分数指数幂：。 3．对数函数及其性质：形如y=logax(a0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当0a1，y=logax为减函数，当a1时，y=logax为增函数。 4．对数的性质（M0, N0）； 1）ax=Mx=logaM(a0, a1)； 2）loga(MN)= loga M+ loga N； 3）loga（）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；， 5）loga =loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c0, a, c1). 5. 函数y=x+（a0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。（请读者自己用定义证明） 6．连续函数的性质：若ab, f(x)在[a, b]上连续，且f(a)·f(b)0，则f(x)=0在（a,b）上至少有一个实根。 二、方法与例题 1．构造函数解题。 例1 已知a, b, c∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+10. 【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，则f(x)是关于x的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证f(-1)0且f(1)0（因为-1a1）. 因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)0， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0， 所以f(a)0，即ab+bc+ca+10. 例2 （柯西不等式）若a1, a2,…,an是不全为0的实数，b1, b2,…,bn∈R，则（）·（）≥()2，等号当且仅当存在R，使ai=, i=1, 2, …, n时成立。 【证明】 令f(x)= （）x2-2()x+=, 因为0，且对任意x∈R, f(x)≥0， 所以△=4()-4（）()≤0. 展开得（）()≥()2。 等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使ai=, i=1, 2, …, n。 例3 设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u=的最小值。 【解】u==xy+≥xy++2· =xy++2. 令xy=t，则0t=xy≤,设f(t)=t+,0t≤ 因为0c≤2，所以0≤1，所以f(t)在上单调递减。 所以f(t)min=f()=+，所以u≥++2. 当x=y=时，等号成立. 所以u的最小值为++2. 2．指数和对数的运算技巧。 例4 设p, q∈R+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求的值。 【解】 令log9p= log12q= log16(p+q)=t，则p=9 t , q=12 t , p+q=16t， 所以9 t +12 t =16 t，即1+ 记x=，则1+x=x2，解得 又0，所以= 例5 对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且，求证：a+b=c. 【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70. 所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70， 相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设， 所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70. 所以abc=70=2×5×7. 若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a1. 又a≤b≤c，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7. 所以a+b=c. 例6 已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab. 【证明】 由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得 ， 因为ac0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab. 注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3．指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。 例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x. 【解】 方程可化为=1。设f(x)= , 则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3. 例8 解方程组：（其中x, y∈R+）. 【解】 两边取对数，则原方程组可化为 ①② 把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+