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《中学数学竞赛讲座及练习第21讲实数的若干性质和应用
第二十一讲 实数的若干性质和应用
实数是高等数学特别是微积分的重要基础.在初中代数中没有系统地介绍实数理论,是因为它涉及到极限的概念.这一概念对中学生而言,有一定难度.但是,如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识,中学数学也将无法继续学习下去了.例如,即使是一元二次方程,只有有理数的知识也是远远不够用的.因此,适当学习一些有关实数的基础知识,以及运用这些知识解决有关问题的基本方法,不仅是为高等数学的学习打基础,而且也是初等数学学习所不可缺少的.本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用.
形如:(n≠0)的数叫有理数,其中m,n为整数,这种定义可用于解决许多问题,例如,不难证明:任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数,或者说,有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的.
性质1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式,反之亦然.
例1 证明循环小数是有理数
分析 要说明一个数是有理数,其关键要看它能否写成两个整数比的形式.
无限不循环小数称为无理数.有理数对四则运算是封闭的,而无理数与有理数的和、差、积、商不一定是无理数。例如为无理数,但-=0是一个有理数;是无理数,是有理数,也就是说,无理数对四则运算是不封闭的,但它有如下性质.
性质2 设a为有理数,b为无理数,则
(1)a+b,a-b是无理数;
(2)当时,是无理数。
实数的概念:有理数和无理数统称为实数,即
在实数集内,没有最小的实数,也没有最大的实数.任意两个实数,可以比较大小.全体实数和数轴上的所有点是一一对应的.在实数集内进行加、减、乘、除(除数不为零)运算,其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性).任一实数都可以开奇次方,其结果仍是实数;只有当被开方数为非负数时,才能开偶次方,其结果仍是实数.
例2 求证:是有理数。
分析:要证明所给的数能表示成(m,n为整数,n≠0)的形式,
关键是要证明是完全平方数。
证
所以
例3 、证明是无理数
分析 要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事.由于有理数与无理数共同组成了实数集,且二者是矛盾的两个对立面,所以,判定一个实数是无理数时,常常采用反证法.
说明:只要p质数,就一定是无理数,这个结论的证明并不困难,请同学们自己完成
例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1,a2,b1,b2为有理数,a为无理数),
则a1=a2,b1=b2,反之,亦成立.
分析 设法将等式变形,利用有理数不能等于无理数来证明.
说明 本例的结论是一个常用的重要运算性质.
例5:a与b是两个不相等的有理数,试判断实数是有理数还是无理数,并说明理由.
说明 本例并未给出确定结论,需要解题者自己发现正确的结论,解这样的问题时,可以先找到一个立足点,如本例以为有理数作为立足点,以其作为推理的基础。
例6 已知a,b是两个任意有理数,且a<b,求证:a与b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性).
分析 只要构造出符合条件的有理数,题目即可被证明.
说明 构造具有某种性质的一个数,或一个式子,以达到解题和证明的目的,是经常运用的一种数学建模的思想方法.
例7 已知a,b是两个任意有理数,且a<b,问是否存在无理数α,使得a<α<b成立?
分析 因为无理数是无限不循环小数,所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来,这样涉及无理数小数部分的计算题,往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的),然后再寻求其小数部分的表示方法.
14=9+6b+b2,所以b2+6b=5.
b4+12b3+37b2+6b-20
=(b4+2·6b3+36b2)+(b2+6b)-20
=(b2+6b)2+(b2+6b)-20
=52+5-20=10.
例9 求满足条件
的自然数a,x,y.
解 将原式两边平方得
由①式变形为
两边平方得
例10 设an是12+22+32+…+n2的个位数字,n=1,2,3,…,求证:0.a1a2a3…an…是有理数.
分析 有理数的另一个定义是循环小数,即凡有理数都是循环小数,反之循环小数必为有理数.所以,要证0.a1a2a3…an…是有理数,只要证它为循环小数.因此本题我们从寻找它的循环节入手.
证 计算an的前若干个值,寻找规律:1,5,4,0,5,1,0,4,5,5,6,0,9,5,0,6,5,9,0,0,1,5,4,0,5,1,0,4,…发现:a20=0,
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