《k5组合数的两个性质.docVIP

组合数的两个性质 作者：万连飞 教学目的： 使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑思维能力； 使学生能利用组合数的性质进行计算，培养学生的计算能力。 教学过程： 复习提问： 组合数公式的两种形式是什么： 利用组合数的公式的第二种形式计算 ，根据学生的回答，教师板书如下： 组合数公式： } (n,m∈N,且m≤N) 二、新课讲授： 通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它的应用。 利用组合数的公式，考察： 与， 与， 与 的关系，并能发现什么规律？（可以逐个叫学生回答，板书） ∵， 又， ∴=； ∵ 又 ∴； ∵ 又 ∴=。 由不完全归纳可得：从n个不同的元素中取出m 个元素的组合数，等于从n个不同的元素中取出n-m个元素的组合数。即 定理1：=，(n,m∈N,且m≤N) (2)定理1的证明。要证明这个等式成立，即证明两个量相等。那么，证明两个量相等有声么方法呢？（指明学生回答） 方法一：“若两个数都等于第三个数，则这两个数相等 ”。 我们知道， ， 显然，等于。于是可得下面的证明。 证明：∵， 又， ∴=。 （3）性质1的另一种解释：从n个不同的元素中取出m个元素，并成一组，那么，剩下的n-m个元素也成一组；反之，从n个不同的元素中取出n-m个元素并组成一组，那么剩下的m个元素也成一组。所以，它们的组合是一一对应的，故有从n个不同的元素中取出m个的组合数是等于从 n个不同的元素中取出n-m个元素的组合数，即=。 （4）当 时，利用这个公式，可是的计算简化。如： ， 。 （5） 注意：当m=n时，公式=变形为 ， 又=1，所以规定：=1即 0！=1 （6）在这样的一组组合数： ，，……，， 中，性质1还说明了：与两端等距离的两个组合数相等。如： =，=，=，……。 用计算的方法验证下列各式成立，并加以证明。 （1）用计算的方法考察组合数： 与， 与 的关系，你能由此发现什么规律吗？（可指明学生回答，板书） ∵ ∴= ∵ ∴= 规律：若n、,m是自然数，m≤n，则 ，（或 ） 定理2 (n,m∈N,且m≤N) 定理2的证明。要证明这个等式，只要根据组合数的公式变形即可。 证明：∵ ∴ （3）对于定理2，还可以这样解释：从， ，….，这n+1个不同的元素中取出m个元素的组合数，这些组合可以分成两类：一类含，一类不含。含的组合是从，….，这n个不同的元素中取出m-1个元素的组合数为，不含的组合是从，….，这n个不同的元素中取出m个元素的组合数为。再由加法原理，得： 。 （3）定理2还说明了，把从n+1个不同的元素中取出m个元素的组合数，等于从n个不同的元素中取出m个元素的组合数与从n个不同的元素中取出m-1个元素的组合数的和。这体现了组合数的可分解性，或组合数的可加性。 课堂练习： 计算与； 求； 利用定理2证明： 证明： …… 又证：将原式左边的各项写成： ， ， ， …… ，， 将上述的等式两边相加，得： 四、作业:认真阅读课文,重点掌握组合数的两个性质的证明和利用性质计算组合数的方法,并做下列练习: 1.求 2. 证明: 3.书上 徐州师范大学数学系97（2）班 授课人：万连飞 徐州师范大学数学系 第 1 页 2013-5-1 15:17