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《§15.1两角和与差的正弦、余弦公式
南通工贸技师学院
教 案 首 页
授课
日期 班级 15对口2
课题: §15.1两角和与差的正弦、余弦公式
教学目的要求: 推导并掌握两角和与差的正弦、余弦公式,懂得运用这些公式解决实际问题
教学重点、难点: 两角和与差的三角函数的运用;两角和与差的三角函数的推导
授课方法: 讲授法
教学参考及教具(含多媒体教学设备): 三角板,圆规,PPT
授课执行情况及分析:
板书设计或授课提纲
PPT演示 1、两点间的距离公式
2、和角公式.
3、差角公式.
4、课堂练习
教 学 内 容、方 法 和 过 程 附 记 引入新课:
在研究三角函数时,我们还常常遇到这样的问题:已知任意角α,β的三角函数值,如何求出α+β,α-β或2α的三角函数值?下面我们先引出平面内两点间的距离公式,并从两角和的余弦公式谈起:
我们在初中已经求过数轴上两点间的距离,知道这实际上就是求数轴上这两点所表示的两个数的差的绝对值.现在考虑坐标平面内的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(图4-17),从点P1,P2分别作x轴的垂线P1M1,P2M2,与x轴交于点M1(x1,0),M2(x2,0);再从点P1,P2分别作y轴的垂线P1N1,P2N2,与y轴交于点N1(0,y1),N2(0,y2).直线P1N1与P2M2相交于点Q.那么
P1Q=M1M2=|x2-x1|,
QP2=N1N2=|y2-y1|.
于是由勾股定理,可得
=|x2-x1|2+|y2-y1|2
=(x2-x1)2+(y2-y1)2.
由此得到平面内P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式
接下来,我们继续考虑如何运用两点间的距离公式,把两角和的余弦cos(α+β)用α,β的三角函数来表示的问题.
如图4-18,在直角坐标系xOy内作单位圆O,并作出角α,β与-β,使角α的始边为Ox,交⊙O于点P1,终边交⊙O于点P2;角β的始边为OP2,终边交⊙O于点P3,角-β的始边为OP1,终边交⊙O于点P4.这时点P1,P2,P3,P4的坐标分别是
P1(1,0),
P2(cosα,sinα),
P3(cos(α+β),sin(α+β)),
P4(cos(-β),sin(-β)).
由P1P3=P2P4及两点间距离公式,得
[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)
=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2.
展开并整理,得
2-2cos(α+β)
=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ),
所以
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.????????????????? (C(α+β) )
这个公式对于任意的角α、β都成立.
在公式C(α+β)中用-β代替β,就得到
cos(α-β)=cosαcos(-β)-sinαsin(-β),
即
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.????????????????? (C(α-β))
运用公式C(α-β),又可得到
=sinα;
这就是说,诱导公式
当α为任意角时仍然成立.
再运用C(α+β)和上述诱导公式,便可得到
=sinαcosβ+cosαsinβ,即
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.????????????????????? (S(α+β))
在公式S(α+β)中用-β代替β,又可得到
sin(α-β)=sinαcos(-β)+cosαsin(-β),
即
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.??????????????? (S(α-β))
当cos(α+β)≠0时,将公式S(α+β),C(α+β)的两边分别相除,即
如果cosαcosβ≠0,我们可以将分子、分母都除以cosαcosβ,从而得到
因为
所以在公式T(α+β)中用-β代替β,又可得到
即
公式S(α+β),C(α+β),T(α+β)给出了任意角α,β的三角函数值(这里指正弦、余弦或正切)与其和角α+β的三角函数值之间的关系.为方便起见,我们把这三个公式都叫做和角公式.
类似地,公式S(α-β),C(α-β),T(α-β)都叫做差角公式.
利用和(差)角公式求75°,15°的正弦、余弦、正切值.
解:sin75°=sin(45°+30°)
=sin45°cos30°+cos45°sin30°
分析:观察公式S(α-β),C(α+β)和本题的已知条件,要计算sin(α-β),cos(α+β),应先算出cosα,sinβ.
所以
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