《§2.1.3不等式的的证明3.docVIP

选修4-5学案 §2.1.3不等式的的证明() 姓名 ☆学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式 ?知识情景： 1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)． 20. 综合法和分析法． 30. 反证法、换元法、放缩法2. 综合法： 用综合法证明不等式的逻辑关系： 3. ：： ?新知建构： 1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 例1已知 + b + c 0，b + bc + c 0，bc 0，求证：, b, c 0 . ：放缩法： ③应用“糖水不等式”：“若，，则” ④利用基本不等式，如：； ⑤利用函数的单调性 ⑥利用函数的有界性：如：≤； ⑦绝对值不等式：≤≤； ⑧利用常用结论：如：， ⑨应用贝努利不等式： 例4 当 n 2 时，求证： 例5求证： 例6 若a, b, c, d?R+，求证： 选修4-5 §2.1.3不等式的证明() 姓名 ，求证：中至少有一个不小于. 2、设0 a, b, c 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于 3、已知，求证：（且）. 4、若x, y 0，且x + y 2，则和中至少有一个小于2。 5、已知 ≤≤，求证：≤≤ 6、设，，求证：； 7、求证： 8、求证 9、设为大于1的自然数，求证 10、若是自然数，求证 11、求证：≥ 12、求证： 参考答案: 例1 例2 例3 放缩法：和任何正整数，由牛顿二项式定理可得 舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式： . 在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。 该不等式不仅当是正整数的时候成立，而且当是任何大于1的有理数的时候也成立。 这就是著名的贝努利不等式。 在今后的学习中,可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设， 则在或时，，在时， 例4证：∵n 2 ∴ ∴ ∴n 2时, 例5证明：由（是大于2的自然数） 得 例6证：记m = ∵a, b, c, d?R+ ∴ ∴1 m 2 即原式成立。 练习 1．证明：假设都小于，则 （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有 （2） （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。 注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时， 通常采用反证法进行。 议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出 的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各 种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？ 2、 证：设(1 ? a)b , (1 ? b)c , (1 ? c)a , 则三式相乘：ab (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a ① 又∵0 a, b, c 1 ∴ 同理：, 以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 与①矛盾. ∴原式成立 4提示：反设≥2，≥2 ∵x, y 0，可得x + y ≤2 与x + y 2矛盾。 10 证明： = = 注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结 论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。