《§3收敛定理的证明.docVIP

§3 收敛定理的证明 (一) 教学目的：了解收敛定理的证明． (二) 教学内容：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理； 收敛定理的证明． (1) 基本要求：掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点． (2) 较高要求：理解收敛定理的证明． (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的证明要点． (2) 对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题． —————————————————————————— Dini定理 设以为周期的函数在区间上按段光滑, 则在每一点 , 的Fourier级数收敛于在点的左、右极限的算术平均值, 即 , 其中和为的Fourier系数. 证明思路: 设～对每个, 我们 要证明. 即证明 . 方法是把该极限表达式化为积分, 利用Riemann—Lebesgue定理证明相应积分的极限为零. 1 写出的简缩形式. . 称这一简缩形式为的积分形式, 或称为Dirichlet积分, 2 利用该表示式, 式 可化为 + , 于是把问题归结为证明 , . 这两式的证明是相同的, 只证第一式. 1为证上述第一式, 先利用三角公式 建立所谓Dirichlet积分 , 利用该式把 表示为积分,即把 表示为Dirichlet积分 . 于是又把上述1中所指的第一式左端化为 . 利用所谓Riemann — Lebesgue定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明 Bessel不等式, 再建立Riemann — Lebesgue定理, 然后把以上最后的式子化为 . 把上式化为应用Riemann — Lebesgue定理的形式, 即令 , 则 . 为使最后这一极限等于零, 由Riemann — Lebesgue定理, 只要函数在区间上可积. 因此希望存在. 由函数在区间上按段光滑, 可以验证存在. 预备定理及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论. 预备定理1 ( Bessel 不等式) 若函数在区间上可积, 则有Bessel 不等式 , 其中和为函数的Fourier系数. 推论1 ( Riemann— Lebesgue定理 ) 若函数在区间上可积, 则有 , . 推论2 若函数在区间上可积, 则有 , . 预备定理2 若是以为周期的周期函数, 且在区间上可积, 则函数的Fourier级数部分和有积分表示式 . 当时, 被积函数中的不定式由极限 来确定. Dirichlet积分: . 证 由三角公式 . 三维空间中 则 (1) 将此结论推广到 维空间, 即为若 , 则 对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数 自然应有 这就是有名的Bessel 不等式, 其证明和三维空间中 (1) 式的证明思路完全一样, 都是利用坐标系的正交性. Parseval等式 ( 或称Ляпинов等式 ) 设可积函数的Fourie级 数在区间上一致收敛于, 则成立Parseval等式 . 证法一 注意到此时函数在区间可积 , 由Bessel 不等式, 有 . 现证对, 有. 事实上, 令由一致收敛于, 对对, 有 , 因此 , . 即当时有 . 令, . 由的任意性, 有 . 综上即得所证 . 证法二 由一致收敛于, . 而 . 因此, . 由两边夹原则, 即得所证等式 . 证法三 利用内积的连续性( 可参阅一般泛函书 ) , 有 = . Parseval等式的意义：设在幺正系 下函数的Fourier系数为和 ，可见 ； ； 同理有 ; 其中和为函数的通常Fourier系数.于是 , Parseval