《九年级数学.doc

基点点睛 知识点一 全等三角形的判定和性质 1.判定定理:SAS,ASA,AAS,SSS,HL 2. 性质：全等三角形的对应边（角，中线，高，角平分线）相等。 知识点二 等腰三角形的性质定理及推论 1.等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写：等边对等角） 2.等腰三角形性质定理的推论：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称三线合一） 知识点三 等边三角形的判定定理 定理一:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 定理二:三个角都相等的三角形是等边三角形 典例解析 例1 如图所示，在△ABC中，AB=AC,点D在AC边上，且BD=BC=AD,则∠A的度数为（ ） A.30° B.36° C.45° D.70° 【解析】由等角对等边及三角形内角和定理可求解。设∠A=X,由AD=BD,得∠ABD=∠A=X,所以∠BDC=∠A+∠ABD=2X,由BD=BC,得∠C=∠BDC=2X,又AB=AC,所以∠ABC=∠C=2X,由三 角形的内角和定理得，X+2X+2X= 180°，解得X=36°，故选B. 【点评】在等腰三角形中，求角的度通常应用三条性质：（1）等角对等边；（2）三角形外角等于与 1.1你能证明它们吗?（一） 双基过关 1.下列命题中正确的是（ ） A.等腰三角形一定是锐角三角形 B.等腰三角形的腰长总大于底边长 C.等腰三角形底角的外角一定是钝角 D.顶角相等的两个等腰三角形是全等三角形 2.等腰三角形的一个外角是150°,那么这个三角形的三个内角分别是( ) A.75°,75°,30° B.30°,30°,120° C.50°,50°,80° D.30°,30°,120°或.75°,75°,30° 3.如图所示,已知AB=AD,那么添加下列条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是( ) A.CB=CD B.∠BCA=∠DAC C.∠BCA=∠ DCA D.∠ACD=∠BCA,BC=DC 4.如图所示,∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,则∠DEF=( ) A.60° B.70° C.75° D.90° 5.等腰三角形的一个内角为40°，则另外两个内角的度数分别为 6.已知在△ACE和△DBF中，AE=DF,∠A=∠D,则证明△ACE ≌△DBF的方法： （1）根据“SAS”,增加条件 （2）根据“AAS”,增加条件 (3) 根据“ASA”,增加条件 7.如图所示，在△ABC中，AB=AC, ∠A=50°，点P是△ABC内部一点， 且∠PBC=∠ACP,则∠BPC的度数 为 8.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,AD是∠CAB的角平分线，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E。,求证BE=?AD. 它不相邻的两内角之和；（3）三角形的内角和为180° 例2 如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE,求证：BD=CE. 【解析】因为△ABC和△ADE是有公共顶点的，并且底边在同一直线上的等腰三角形，所以作△ABC（或△ADE）的高AF,可同时平分BD,DE. 【证明】作AF⊥BC,垂足为F，则AF⊥DE. ∵AB=AC,AD=AE,AF⊥BC,AF⊥DE ∴BF=CF,DF=EF(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合) ∴BD=CE 【点评】本题也可以通过△ABD≌△ACE来证明，但是如果抓住图形的左右对称性，构造三线合一定理的基本图形，则证明更加简捷。 例3 如图,在△ABC中，BC=5cm,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长是 cm. 【解析】由PD∥AB知，∠BPD=∠ABP,又∠ABP=∠PBD,所以∠BPD=∠PBD,由等角对等边知PD=BD,同理可得PE=EC,故△PDE的周长是：PD+PE+DE =BD+EC+DE=BC=5cm 【点评】一个图形若有平行及平分，可能会有等腰三角形，记住这个基本图形很多题目便可迎刃而解。 9.如图所示,在四边形ACBM中,连接CM,∠1=∠2,CM=BC,MB=2AM. 求证:AC⊥AM. 能力提高 9.如图，在△AB