《九年级数学相似三角形复习.docVIP

九年级数学上册 （华东师大版） 图形的相似 相似图形 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 比例线段的相关概念 如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是，或写成． 注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． 在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 注意： (1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式． (2)比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：． 比例的性质 比例的基本性质 比例式化积、积化比例式. a:b=c:d 注意： 由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除 了可化为，还可化为，，，，，，． 更比性质(交换比例的内项或外项)： (2)反比性质 (把比的前项、后项交换) (3)合、分比性质 分子加（减）分母,分母不变. (k=1、2、3…) 应用: 已知 证明:∵ ∴ ∴ ∴ (4)等比性质:分子分母分别相加，比值不变. 若则 注意： (1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：；其中 (5)比例中项:若的比例中项. 4.平行线分线段成比例定理 (1).平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得 (2).推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. (3).推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. (即利用比例式证平行线) (4).定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 5.黄金分割 把线段分成两条线段，且使是的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618． 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． 相似三角形的基本定理 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似． 定理的基本图形： 用数学语言表述是： ， ∽． 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一有∽． (2)对称性：若∽，则∽． (3)传递性：若∽，且∽，则∽． 相似三角形的判定方法 （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． （3）相似三角形的判定定理 ①两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多); ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似; ③三边对应成比例的两个三角形相似; ④直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似. 直角三角形中的相似问题 斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似. 射影定理： CD2=AD·BD， AC2=AD·AB， BC2=BD·BA （在直角三角形的