《三垂线定理.docxVIP

三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直内心：三角形的三内角平分线交于一点。（内心定理）外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点。（外心定理）中心：等边三角形的内心.外心.垂心.重心重合.则特指等边三角形的这个重合点垂心：三角形的三条高交于一点。（垂心定理）重心：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。（重心定理）重心：三角形重心是三角形三边中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心（几何中心）重合。1 重心的性质及证明方法 　　　1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。　　证明一　　三角形ABC，E、F是AC，AB的中点。EB、FC交于O。　　证明：过F作FH平行BE。　　∵AF=BF且FH//BE　　∴AH=HE=1/2AE（中位线定理）　　又∵ AE=CE　　∴HE=1/2CE　　∴FG=1/2CG（⊿CEG∽⊿CHF）　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。　　证明二　　证明方法：　　在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高H1，H可知OH1=1/3AH 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)　　3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）　　证明方法：　　设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2　　=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2　　=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2　　显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时　　上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2　　最终得出结论。　　4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，　　即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；　　空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（z1+z2+z3）/3　　5、三角形内到三边距离之积最大的点。　　6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。　　7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）　　8、相同高三角形面积比为底的比，相同底三角形面积比为高的比。　　证明方法：　　∵D为BC中点，　　∴BD=CD,　　又∵h△ABD=h△ACD，h△BOD=h△COD，　　∴S△ABD=S△ACD，S△BOD=S△COD，　　即S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD,　　∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE.　　同理，　　∵E为AC中点，　　∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD.　　∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD.　　又∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF/S△AOE+S△COE,　　即S△BOF=S△AOF。　　∴BF=AF，　　∴CF为AB边上的中线，　　即三角形的三条中线相交于一点。　2 重心顺口溜 　　三条中线必相交，交点命名为“重心”　　重心分割中线段，线段之比二比一；　　向量关系　　O是重心，向量OA+向量OB+向量OC=零向量内心1 定义 　　在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心，　　而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心,(该点到三边距离相等)。2 共点证明 　　证明：如图所示 　　作∠B、∠C的角平分线于AC、AB交于F、D　　CD与BF交于I连接AI交BC于E